Tây — trang 61–80

trên trường vô hướng K = C or R, gọi là chuẩn của Quaternion. Có thể chứng minh tính chất sau :

Nº(PQ) = N° (P). N°(2).

Với trường R, ta có

BIỂU DIỄN CỦA ĐẠI SỐ QUATERNION

Đựa vào bảng đẳng cấu IV - 3 of isomorphism, Đại số Val → được xem là một biểu diễn của đại số Q.

Ngoài ra, còn một biểu diễn khác của Đại số Quaternion Q bằng các ma trận Pauli, các ma trận này có liên quan đến nhiều cấu trúc trong Vật lý Lý thuyết của Khoa học Tây phương (Chương V)

QUATERNION VÀ HÌNH VUÔNG SAO MỘC.

Đại số Quaternion Q có liên quan đến Hình vuông Kỳ diệu của Sao Mộc (hình II - 2).

Như chúng ta sẽ thấy sau này, trong Triết Đông phương, cấu trúc (4,WX) liên quan đến Đại số Quaternion lại có liên quan đến Hình Vuông Sao Mộc

'62

25-07

CHƯƠNG V

ĐẠI SỐ CAYLEY

VÀ HỆ 64 QUẺ SÁU HÀO SAO THỦY

PHỤC HY - VĂN VƯƠNG VÀ CAYLEY - FROBENIUS-HURWITZ

63

ĐẠI SỐ CAYLEY HAY ĐẠI SỐ OCTONION

Cho một tập trên K = C hay R gồm các yếu tố dạng

P= Qe, P& Q là Quaternion € Q,

e là yếu tố cơ sở mới ngoài hệ cơ sở 1, i, j, k của Quaternion.

DỊNH NGHĨA CÁC PHÉP VÀ NHÂN VỚI VÔ HƯỚNG CỦA KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH (P+ Qe) + (R + Se) = (P+R) + (Q + S) e,

(P+ Qe)2 = (PL)+ (Q2) e, 2 E K.

Như thế ta thu được một không gian tuyến tính 8 chiều với cơ sở

1, i,j, k, e, ie, je, ke.

ĐỊNH NGHĨA PHÉP NHÂN CỦA VÀNH

Phép nhân của vành định nghĩa trên không gian tuyến tính trên như sau

(P + QE). (R + SE) = (PR - S Q) + (SP + QR)E, P, Q, R, S E Q.

trong đó 5 hay R là yếu tố liên hợp Quaternion của Quaternion S hay R.

Dễ chứng minh tính chất phân phối của phép nhân này đối với phép cộng.

Ngoài ra, ta có tính chất

Lượng

R = P - Qe

gọi là liên hợp hermitic của R.

Có thể chứng minh rằng :

Lượng R R =0 chỉ khi R= 0 trên trường vô hướng R, và gọi là chuẩn của R và ký hiệu là N(R).

64

TÍNH PHÂN THÀNH PHẦN

Chuẩn của số Cayley có trên trường R, C tính chất phần thành phần sau

N(AB) = N(A). N(B).

Một đại số thu được như thế gọi là Đại số Cayley hay Đại số Octonion, ký hiệu là C. BẢNG NHÂN CƠ SỞ

Từ định nghĩa phép nhân trên ta thu được bảng nhân các yếu tố cơ sở sau

J     k         e            ie                 je                     ke

1

e ie je ke

-1 k

ie -e -ke je

-k - 1

je ke -e -ie

BẢNG V - 1. BẢNG NHÂN CƠ SỞ CỦA ĐẠI SỐ CAYLEY

CÁCH XÁC ĐỊNH ÁNH XẠ LƯỠNG TRỊ TỪ HỆ TỨ TƯỢNG LÊN HỆ BÁT QUÁI

Bây giờ chúng ta xác định cấu trúc của hệ 64 hào trong mối liên hệ với Đại số Cayley. Trước hết ta xuất phát từ một loại ánh xạ lưỡng trị từ hệ Tứ Tượng lên hệ Bát Quái như sau, sử dụng hào giữa như trong biểu diễn Hình vuông Mặt Trời.

Cụ thể là

65

/ k le

Kiến 6 Kiến Đoài Tốn Khẩm Ly Chấn -/ k le -e

k k Ton -i -1 ke KHẢM1 Khảm -je

KHÔN 2 Khôn - Cấn Chấn Ly - Khảm

BẢNG V - 3. BẢNG PHỐI HỢP GIỮA ĐẠI SỐ CAYLEY VÀ HỆ BÁT QUÁI

(về sau bảng này sẽ được hiểu chính xác hơn)

Đặc tính của Chân Nhân và Đường Hara được biểu hiện trên các đường chéo Kiền và Khôn, tức là Thiên và Địa. PHÉP NHÂN + ĐỐI VỚI CÁC QUẺ

Trước hết ta định nghĩa phép nhân Quẻ 4 tương tự như trong trường hợp hệ Tứ Tượng :

Quẻ 3 hào A Quẻ ba hào B =

A * B = Int (A+ B) | Val (A+ B), Int (A+ B) = B.

Lượng ký hiệu C = Val (A × B) - cũng như trong trường hợp Tứ Tượng - được tính như sau : 1). A xem là Ngoại Quái, B là Nội Quái

2). Hào 1, 2, 3 của C là Dương hay Âm tùy các cặp (1,1), (2, 2), (3,3), hay (1, 4), (2, 5), (3,6) của các Quẻ A, B là có tính Âm Dương như nhau hay khác nhau :

67

Khôn je ke

Cấn

-Ly

Tốn Khảm

g). ie + je = - k, tương ứng với Chân 4 Cân :

Hào 6 Âm

je 4 je ~ Chân*Cần Hào 4 Dg = - Dg = - Khảm = - k.

Hào 2 Âm

Hào l Âm

h). ie + ke = j, tương ứng với Chấn 4 Khôn

Hào 6 Âm

ie + ke = Chấn+Khôn Hào 4 Dg = KE = Tốn ~ j.

Hào 2 Âm

Hào 1 Âm

QUẺ KHÔN

Tương tự như Quẻ Kiển, tác động của Quẻ Khôn là đổi dấu toàn bộ các hào v.v...

CHÚ Ý ĐẶC BIỆT QUAN TRỌNG VỀ DẤU TRỪ TRƯỚC CÁC QUẺ

Trong Đại số Octonion, dấu trừ nằm ngay trước các quẻ cũng thuộc cấu trúc trường số thực R. Nhưng trong Kinh Dịch, dấu trừ này sẽ được thể hiện dưới một dạng khác là dạng ngữ nghĩa khá lế hệ, nghĩa là nằm ngoài trường R, như chúng ta sẽ thấy ở tập VI sau này. Mặt khác, do tính không kết hợp, cần xét quẻ 9 hào về nhiều mặt.

MỘT NHẬN XÉT DỰA TRÊN TÍNH MỘT CỦA TRIẾT PHƯƠNG ĐÔNG

Ta hãy trở lại hệ 7 cơ thể vô hình của nhân thể và ký hiệu :

Hạ Phách = Cơ thể 1 Thượng Phách = Cơ thể 5

Hạ Vía = Cơ thể 2 = CƠ THỂ HẬU THIÊN Thượng Vía = Cơ thể 6 = CƠ THỂ TIÊN THIÊN

Thượng Trí = Cơ thể 7

Hạ Trí = Cơ thể 3 và sau đó, dựa vào tính MỘT của Triết Đông phương, ta hãy đặt vấn để : Phải chăng

Cơ thể Hậu thiên > Cơ thể Tiên thiên = Cơ thể Astral = Quẻ "ba hào " ?

71

Ký hiệu

Cũng như trước, ta ký hiệu

A → B = Int (A 4 B) | Val (A 4 B).

TÍNH ĐƠN VỊ MỞ RỘNG CỦA KIỀN

Tất nhiên Kiền là đơn vị trong phần Val do cả ba hào của Kiền đều Dương. Cũng như trong trường hợp cấu trúc (+, VS) ta có

Int(A + Kiền) = Kiền + Int (Kiền 4 A) = A,

Val (A + Kiền) = Val (Kiền < A).

TÍNH KHÔNG GIAO HOÁN

Tính không giao hoán của phép nhân 4 cũng hiện ra như trong đại số Val (+, WX). Val (A4 B) + Val (B 4 A) = 0, A, B khác Kiến, Riêng đối với Quẻ Kiến (đơn vị mở rộng) thì

Int (Kiền + A) = A = Int(A + Kiền) = Kiền,

Val (Kiến A) = Val (A + Kiền) = A.

Như vậy, bảng V - 3 hiểu là bảng nhân phần Val (A + B).

TÍNH KHÔNG KẾT HỢP

Độc giả có thể kiểm tra tính không kết hợp của Hệ Bát Quái theo phép nhân4.

ĐẠI SỐ LUÂN PHIÊN

Bây giờ chúng ta hãy nói đến một trong những tính chất riêng biệt của Đại số Cayley, gọi là tính chất luân phiên, định nghĩa theo trình tự sau :

KẾT HỢP TỬ

Lượng

la, b, c] = (a → b) + c - a * (b * c),

gọi là - theo định nghĩa - kết hợp tử của ba số a, b, c trong đại số Cayley.

Có thể chứng minh được các tính chất sau của kết hợp tử :

1). I(a + x). h.c]=|a,h,c)+|a,h, c l,

72.

ĐẠI SỐ LUÂN PHIÊN

Một đại số gọi là luân phiên nếu

/2 b = 0 [ba, a] = 0 với mọi a, b, hay là"

(a → a) * b=a+ (a 4 b), (b 4 a) + a = b * (a * a) với mọi a, b. Từ dịnh nghĩa trên ta có thể suy ra tính chất sau

[a, a+ b,a+ b ] = 0.

Kết hợp tử của một đại số luân phiên thay đổi dấu nếu các thành phần chịu một hoán vị lẻ, và không thay đổi dấu với một hoán vị chấn các thành phần :

Có thể chứng tỏ rằng Đại số Cayley là một đại số luân phiên.

Ta hãy lấy một vài ví dụ cụ thể trên Đại số các Quẻ 3 hào.

Ví dụ 1 a = Ly, b = Cấn.

Theo tính chất luân phiên (b 4 a) 4 a = b 4 (a 4a) và bảng XV - 3 ta được ngay ở vế phải Val (Cấn + (Ly + Ly) ] = - Cấn.

Tà lại có ở vế trái cũng theo bảng trên

Val [(Cấn 4 Ly) Ly ] = Val (- Tốn 7 Ly) = - Cấn.

Ví dụ 2 a = Chấn, b = Khảm.

Ta lán lượt có ở hai vế :

Về phải là - Khảm.

Vế trái là :

Val [(Khảm > Chấn) Chấn ] = Val (- Cấn 4 Chấn) = - Khảm.

73

Ví dụ 3 a = Kiền, b = Tốn.

Ta lần lượt có ở hai vế :

Vế phải là Tốn. Vế trái là :

(Tốn 4 Kiền) + Kiền = Tốn 4 Kiền = Tốn.

Ví dụ 4 a = Khôn, b = Đoài.

Ta lần lượt có ở hai về :

Vế phải là - Đoài. Vế trái là :

Val [(Đoài → Khôn) Khôn ] = Val (Cấn 4 Khôn) = - Đoài.

Như thế, chúng ta khôi phục lại được Quẻ bằng cơ thể luân phiên, có sai khác dấu. VỀ SỰ XUẤT HIỆN DẤU TRỪ TRONG PHÉP NHÂN >

Ta có với đơn vị 1 : 1'= 1,} =} = R = ẻ = (ie)" = (je)' = (ke)' = - 1.

Song song, ta có

Vai (Kiền Kiền) = Kiền,

Vai (Đoài → Đoài) = Val (Chấn Chấn) = Val (Khảm 4 Khảm) = Val(Ly Ly) = Val (Cấn + Cấn) = Val (Tốn + Tốn) = Val (Khôn 4 Khôn) == - Kiến.

Sự khác dấu này ở hai vế phải biểu hiện tính Thiên của Kiền, khác với các Quẻ khác của Bát Mặt khác như đã thấy ở trên (tính phản giao hoán) dấu trừ ở đây cũng biểu hiện được phản Quải. giao hoán của ngôi thứ Nội Ngoại của các Quẻ khác Kiền.

Như thế từ hệ Bát Quái, chúng ta đã xây dựng được một Đại số đẳng cấu* với Đại số Cayley, mang được các tính chất sau của Triết Đông phương :

- Tính chất Quan hệ giữa các hào (1 - 4, 2- 5, 3 - 6),

- Tính chất Thiên và phi Thiên,

- Tính chất Ngôi thứ Nội Ngoại (dấu trừ xuất hiện trong Ngôi thứ này sẽ được làm sáng tỏ trong Tập VI)

- Tính chất Luân phiên.

* Thực ra, phải nói rằng Đại số Cayley là sườn CỨNG để xây dựng hệ MỀM 64 quẻ Đông phương.

74

Đại số này xây dựng trên Bát Quái với phép nhân 4 - đẳng cấu với Đại số Cayley - gọi là ĐẠI SỐ 8 - ĐÔNG PHƯƠNG và ký hiệu là Val (4, Z).

Còn cấu trúc (4, Z) thì phức tạp hơn.

Rõ ràng Đại số Val (*, W) là một Đại số con kết hợp của Đại số không kết hợp của đại số Val (4, Z).

HỆ 16 QUÉ

HỆ 64 QUẺ

C

KE BẢNG V - 4. BẰNG VAL (*,Z) X VAL (*,Z) VÀ CÁC QUẺ 6 HÀO

KHÔN 2 KHÔN KIỀN 6 ĐOÀI 7 TÔN 4 KHẢM 1 LY 9 CHÂN 3 KHÔN 2

KIẾN   6        Kiền                .               Đoài

ĐOÀI   7        Đoài                -                Kiền                         Khẩm                                  -                                  Tốn                                           Chấn

TÔN  4       Tốn               -               Khảm                        -                       Kiền                                Đoài

TIẾU   SÚC        TRUNG            PHU                THUẤN                   TÔN                         HOÁN                                  GIA                                   NHÂN                                            ICH

Khảm 1 Khảm

LY 9.

ie le

CHÂN 3 Chấn

ĐẠI Tráng ĐẠI SÚP

THÁI ĐỊA

Tiếp theo say đây là bảng đẳng cấu giữa Đại số Cayley và Đại số Val (4, Z), ở đó có kèm theo các hệ sau :

- Hệ Luân Xa,

- Hệ Axit Amin,

- Hệ Hỗn Thiên,

- Hệ Y Dịch Lục Khí

75

Val

(4, Z) KIẾN

KIẾN 8

*ĐOÀI 7

4

BẢNG V- 5. BẢNG ĐẲNG CẤU GIỮA ĐẠI SỐ CAYLEY VÀ ĐẠI SỐ VAL (4, Z) KÈM THEO HỆ LUÂN XA, HỆ AXIT AMIN, HỆ HỖN THIÊN VÀ HỆ Y DỊCH LỤC KHÍ

LY g CHÂN ie 3 CÂN je 8 KHÔN KHÔN 2

Khôn

KIÊN 4

T/H

-Kiển

THỔ Thổ 1

76

NHẬN XÉT

Các Luân xa, các cặp Axit Amin được xếp theo cặp "liên hợp" (1, e), (i, ie), (j. jel. (k, ke). Dấu trừ - nằm theo các cặp (M/K, T/H), (K/M, H/T) và trở rằng M (Thiếu Dương) và T (Thái Âm) hay K (Thiếu Âm) và H (Thái Dương) (đó là bốn phía Mộc, Hỏa, Kim, Thủy của Hà Đó) là khác tính Âm Dương của nhau.

Riêng với Ng/Ng hay Thổ (Trung Cung) thì không có tính Âm Dương đối lập, mặc dầu cũng có dấu trừ đi theo.

Quẻ Kiển - Trời nằm trên đường chéo chính, Quẻ Khôn - Đất nằm trên đường chéo thứ hai, hai Quẻ Ly, Khảm tạo nên một hình thoi.

Các Quẻ 29,30, 63 và 64 nằm tại chính giữa. Và cùng với bốn ô ở bốn góc tạo nên Chân Nhân và Đường Hara. Ta có

Chân Nhân : Khôn 6/2, Khôn 2/6, - Kiền 1/1, - Kiền 9/9.

Đường Hara : Kiền 6/6, - Kiền 2/2, Khôn 1/9, - Khôn 9/1.

Các LuânXa số lẻ đi với Kiền, Khôn, Ly, Khảm.

Các Luân Xa số chắn đi với Đoài, Cấn, Tốn, Chấn.

CÁC ĐỊNH LÝ FROBENIUS VÀ HURWITZ

Dưới góc độ các đại số giao hoán, kết hợp, có ước bằng không, Frobenius đã chứng minh được các định lý quan trọng sau :

1. TRƯỜNG SỐ THỰC VÀ TRƯỜNG SỐ PHỨC

Trường số thực và trường số phức là những đại số duy nhất xác định trên trườg số thực có các tính chất sau :

a) Có chiều hữu hạn, b) Giao hoán, c) Kết hợp, đ) Không có ước của không.

II. THỂ QUATERNION

Thể Quaternion là đại số duy nhất xác định trên trườg số thực có các tính chất sau :

a) Có chiều hữu hạn, b) Không giao hoán, c) Kết hợp, đ) Không có ước của không.

77

III ĐẠI SỐ CAYLEY (OCTONION)

Đại số Cayley là đại số duy nhất xác định trên trườg số thực có các tính chất sau :

a) Có chiều hữu hạn, b) Không giao hoán, c) Không kết hợp, d) Không có ước của không, e) Luân phiên.

Còn Hurwitz thì chứng minh được rằng đại số Cayley là đại số hợp thành có chiều lớn nhất xây dựng trên trường R hay C.

HỆ HỖN THIÊN VÀ ĐẠI SỐ CAYLEY

Theo bảng III- 8 của hệ Hỗn thiên và bảng V- 3 của Đại số Cayley, ta có thể dựng bảng sau vỏ bản chất Octonion của hệ Hỗn thiên :

BẢNG V - 6. BẰNG OCTONION CỦA HỆ HỖN THIÊN

Chúng ta nhận xét rằng định nghĩa của hệ Hỗn thiên trước đây còn rất khó hiểu- nhất là khi nói đến các Quẻ Du hồn (cột thứ bảy), Quy hồn(cột thứ tám) - nay đã trở thành một định nghĩa mang tính toán học Octonion hoàn chỉnh.

Trong Bổ sung IV, sẽ trình bày mối quan hệ giữa hệ Hỗn thiên với công trình nghiên cứu các mặt phẳng bất biến của hai nhà khoa học Tây phương. Gudaydin và G. Gursey.

VỀ CẤU TRÚC HÀO CỦA QUẺ 6 HÀO

Trong Bổ sung II sẽ trình bày một phương án có khả năng tiếp cận đến cấu trúc hào của quẻ 6 hào.

78

HỐ CAYLEY VÀ CẤU TRÚC 4 NHÓM

NIỆM > NHÓM 8 CHIỀU

ấy rằng các lập con sau đây của Đại số Cayley làm thành 4 nhóm :

1. (l,i, j.k,-1, - i,-j. - k).

Iv. Il.j. e.je.- l.-j. - e. -jel, VI. (l.j. ie, ke, -1, - j, - ie, - ke). g hạn, bảng nhân 4 của NHóm 1 = (L.i, j.k, -/, - i.-j. - k là

- 1

- k    -    1         i

- 1

BẢNG VI - 1. BẢNG NHÂN + CỦA NHÓM I

nhóm trên đều đẳng cấu với nhau :

NHÓM 1 IK

NHÓM II

NHÓM III

NHÓM IV

NHÓM V

NHÓM VI

NHÓM VII

BẢNG VI - 2. TÍNH ĐĂNG CẤU GIỮA CÁC NHÓM & CHIỀU TRONG ĐẠI SỐ CAYLEY

80

40 - Ta

CHƯƠNG VI

Nội dung chương này hết sức quan trọng, vì trong chương này chúng ta sẽ thấy :

1). Sự quay trở lại lý thuyết Nhóm kết hợp từ một đại số nói chung không kết là Đại Cayley

Đại số Cayley

CẤU TRÚC NHÓM

KHÔNG KẾT HỢP KẾT HỢP KHÔNG KẾT HỢP

Đại số Cayley

2). Một sự Thống nhất (Integration) Văn minh Đông Tây, với nội dung " Hoa nhập" Khoa học Nhân văn của Đông phương với Lý thuyết Hạt Cơ bản Tây phương, trong cùng một Đại số chung là Đại số Cayley.

Đại số Cayley

79

Ta hãy xét Nhóm III chẳng hạn : | ‡/ = ‡ Kiển, ti = + Đoài, tje= ‡ Cấn, tke = ‡ Khôn) Chúng ta sẽ thu được các tính chất sau, cần thiết cho một cấu trúc nhóm.

1). TÍNH KÍN.

2). SỰ TỒN TẠI MỘT ĐƠN VỊ TỨC LÀ KIỀN (VỚI VAL)

Vai (Kiến 4 Kiền) = Kiền, Val (Kiên 4 Đoài) = Đoài, Val (Kiền Cấn) : = Cấn, Val (Kiền Khôn) = Khôn.

3). TÍNH KẾT HỢP

Chỉ cần chứng minh rằng :

Vai (Đoài 4 Val (Cấn Khôn)| = Val (Đoài (-Đoài)) = Kiền,

Val  ( Val   |  ( Đoài     Cấn)}**        Khôn            )           =           Val            (-            Khôn                 Khôn                   )                   =                  Kiền.
Từ đó  : Val   (  Đoài    4    Val     (Cấn         Khôn            )           |          =          Val          (          Val           (         (Đoài            4             Cấn))                 Khôn).

4). TÍNH CÓ TỒN TẠI MỘT PHẦN TỬ NGƯỢC

Val{ Kiền Kiền) = Kiền, Val| Đoài + (- Đoài) = Kiền, Val (Cấn 4 (- Cấn) | = Kiền, Val(Khôn (- Khôn) = Kiền.

Như thế tập con (‡/ = ‡ Kiển, ti = + Đoài, tje= Cấn, tke = ‡ Khôn) đúng là làm thành một nhóm 8 chiều.

CẤU TRÚC NHÓM VÀ CÁC HỆ CÓ LIÊN QUAN

NHƠM I là liên quan đến hệ Tứ Tượng (biểu diễn hệ Tứ Tượng).

NHƠM III- như sẽ thấy sau này - là liên quan đến hệ Bát Hướng (trong Độn Giấp).

NHÓM IV- như sẽ thấy sau này - là liên quan đến hệ Bát Thiên Tỉnh- với một sai lầm lịch sử Thiên Tinh (9) →> Thiên Tinh (3) (trong Độn Giấp) ?).

NHÓM IV - như sẽ thấy sau này - là liên quan đến hệ Bát Địa Môn (trong Độn Giáp), NHƠM VII - như sẽ thấy sau này - là liên quan đến thước Lỗ Ban...

81