Quan hệ tương đương mờ

QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG MỜ

Chúng ta bước sang hai vấn đề tối quan trọng về các khái niệm quan hệ hai ngôi mờ, là các quan hệ tương đương mờ và thứ tự mờ.

I - CÁC QUAN HỆ ĐỒNG TÍNH VÀ BẤT ĐỒNG TÍNH

Các quan hệ chúng ta nghiên cứu trong chương này dựa vào một số tính chất chủ yếu, trước hết là các tính chất phản xạ, đối xứng, phản phản xạ, phản đối xứng, được định nghĩa như sau.

TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG

Cho một quan hệ mờ R trên tập tích E X F, E = {x}, F = E. Nếu

R(x, y) = R(y, X) với mọi X, yt thì quan hệ R gọi là có tính đối xứng. Một quan hệ không có tính đối xứng gọi là bất đối xứng. Với quan hệ bất đối xứng, ta phải có

R(xr y) # R(y, X), ít nhất với một cặp X, y.

TÍNH CHẤT PHẨN XỨNG

Nếu

R(x, y) # R(y, x) với một số cặp X, y, hay là R(x, y) = R(y, x) = Q với một số cặp X, y nào đó, thì quan hệ R gọi là phản đối xứng.

Điều kiện Ríx, y) * R(y, x) này là điều kiện của các quan hệ bất đối xứng. Các quan hệ bất đối xứng và phản đối xứng khác nhau ỏ điều kiện

R(x, y) = R(y, xj = 0 với một số cặp X, y.

TÍNH CHẤT PHẢN XÚNG TOÀN PHẦN

Trong khái niệm quan hệ phản xứng còn thừa nhận có sự bằng nhau trong điều kiện R(x, y) = R(y, X> = 0 với một số cặp X, y. Nếu xóa điều kiện này, thay bằng điều kiện

R(x, y ; > 0 => R(y, x) = 0 với mọi X, y, thì quan hệ gọi là phản xứng hoàn toàn.

TÍNH CHẤT PHẢN XẠ

Nếu

R(x, X) = 1, với mọi X.

thì quan hệ R gọi là có tính phản xạ.

TÍNH CHẤT Phản XẠ

Nếu

R(x, x) = 0, với mọi X, thì quan hệ R gọi là có tính phản phản xạ.

Ví dụ

Xo xl x3

0 0,2 0,4 X1 Xo 0,2 1 0,7

0,4 1 0,7 X3 là đối xứng, nhưng không phản xạ, cũng không phản phản xạ.

Quan hệ

Sĩ X1 x2 x3

04 1 0,2 XI 0,2 0,7 1 x2

0,4 0,7 1 x3

Là phản xạ và đối xứng.

Quan hệ

S| X1 x2 x3

1 0 0,5 X1 0,8 ^ r 1 0 X ị

0,4 0,7 1 x3 là phản xạ và phản xứng.

Nếu thấy các con số 1 ở trên đường chéo chính bằng các con số 0, thì từ đó ta sẽ được một quan hệ phản phản xạ.

Nếu muốn biến quan hệ này thành một quan hệ phản xứng hoàn toàn thì trong các cặp {(0), (0)} ; {(0,5), (0,4)}, {(0,8),)0,7)} phải có mặt một số 0 và một số khác 0.

Quan hệ

U] X1 x3

1 0,6 0,5 X1 1 0 0

0 0,7 1 x3 là một quan hệ phản xứng hoàn toàn, lại đồng thời phản xạ.

Một ví dụ khác về quan hệ phản xứng z

B z A c D E F

A 0 0 0,2 0 0,8 0,3

B 0 1 1 0,8 0 0,5 c 0 0 0 0,3 0 0,6

D 0 0 0 0 0 0

E 0 0,5 0 0,3 0,2 0,5

F 0,7 0 0 0 0 0,1

Một ví dụ khác về quan hệ phản xứng hoàn toàn w

A B F D E w c

0,4 A 0 0,8 0,6 0,4 0

B 0 0,3 0 0,6 0 0,7

0 0,3 1 0,2 1 0,6 c

D 0 0 0 0,8 0,3 0,2

E 0 0,5 0 0 0 1

0 F 0,7 0 0 0 1

ĐỐ THỊ

Dễ thấy rằng :

- ĐỒ thị của một quan hệ phản xạ có những nút tại các đỉnh, do điều kiện R(x, X) = ĩ. ;

- Trong lúc đó, do điều kiện R(x, X) = 0, các quan hệ phản phản xạ đều không có nút tại các đỉnh.

- Đồ thị các quan hệ phản xứng có thể không chứa một đường nào nối một số cặp hai điểm do điều kiện Ríx, y) = R(y, x) = 0 với một số cặp x, y nào đó. Bây giờ ta chuyển sang một số ví dụ theo hệ quy chiếu liên tục. Quan hệ S(x, y) = exp {-k(x - y)'), k > 1, x E R, là đối xứng và phản xạ. Quan hệ T(x,y)= exp{-(ax+ by)}, a > 6 > 1, x, y E R, là bất đối xứng. QUAN HỆ ĐỒNG TÍNH Một quan hệ có các tính chất phản xạ và đối xứng K(x.i) = 1, với mọi x, R(x, yj = R(x, y) với mọi x, y, gọi là đồng tính. QUAN HỆ BẤT ĐỒNG TÍNH Một quan hệ có các tính chất phản phản xạ và đối xứng R(x, x) = 0, với mọi x, R(x, y) = R(x, y) với mọi x, y, gọi là bất đồng tính. Ví dụ R b d

a 1

1 0 d 0,7 0,9 1

R là một quan hệ đồng tính. Quan hệ S = exp {-k(x - 1)), x, y E R cũng là một quan hệ đồng tính. Quan hệ i U = 1/1{ +|x - y1}, x, y E R cũng là một quan hệ đồng tính.

Các khoảng cách lại là những quan hệ bất đồng tính, do d(A,B) = d(B,A), d(A,A) = 0, e(A,B) = e(B,A), e(A,A) = 0.

II - CÁC TÍNH CHẤT BẮC CẦU

Tính chất bắc cầu là một trong những tính chất chủ yếu của các quan hệ thứ tự và tương đương. Có nhiều hình thái khác nhau của tính chất bắc cầu.

TÍNH CHẤT BẮC CẦU MAX MIN

Cho một quan hệ R(x,y) trên E X E. Ta lập cái hợp thành Max Min

R2 = R Q R.

Nếu

R^ = R o R R thì quan hệ R gọi là có tính bắc cầu Max Min. ’

TÍNH CHẤT BẮC CẦU MAX TÍCH

Nếu cái hợp thành Max Tích thỏa mãn điều kiện

R.R c R, thì quan hệ R gọi là có lính bắc cầu Max Tích.

TÍNH CHẤT BẮC CẦU MINMAX

Nếu cái hợp thành Min Max thỏa mãn điều kiện

R o R 3 R..

thì quan hệ R gọi là có tính chất bắc cầu Min Max.

Các tính chất bác cầu Max Tích và Min Max gọi chung là tính bắc cầu Max Sao (Max *).

Ví dụ

Cho quan hệ mờ

b d c a

0,2 1 0,4 0,4 a

0,3 0 0 0,6 b

1 0.3 0 0 c

1 1 0,1 0,1 d tương ứng với đồ thị

Ta hãy nhân MaxMin RoR. Ta được

0,2 1 0,4 0,4' 0,2 1 0,4 0,4’

0 0,6 0,3 0 0 0,6 0,3 0 R 0 R — 0 0 1 0,3 0 0 1 0,3 0

0,1 1 1 0,1 1 1 0,1 0,1

0,2 0,6 0 0,2' '0,2 1 0,4 0,4' 0 0,6 0,3 0 0 0,6 0,3 0 c — R. 0 0,6 0,3 0 1 0,3 0 0 0,1 1 0,3 0,1 0,1 1 1 0,1

Mặt khác, do R<x,yì G [0,1] $ 1, nên rõ ràng

Min{Rfx,yJ, R(y,z)} & R(x,y),R(y,zj.

Lượng bên trái xuất hiện trong phép hợp Max Min, còn lượng bên phải xuất hiện trong phép hợp Max Tích. Thành thử ta được

R o R c R.R

Kết quả này có nghĩa là

R o R c R => R.R c Rf tức là khi một quan hệ đã có tính bác cầu Max Min thì cũng sẽ tính bắc cầu Max Tích.

Nhìn vào đồ thị của R, ta có thể thây các mũi tên tạo nên những quan hệ bắc cầu sau :

Ví dụ

Ta hãy xét xem quan hệ gần nhau exp{-k(x-ynk > 1 có tính chất bắc cầu Max Min hay không. Một trong số các phương pháp nghiên cứu là phương pháp lượng tử hóa, đối cảnh giới 7 ? X R thành cảnh giới N X N (N là tập hợp các số nguyên không âm). Muốn thế, ta lần lượt cho cặp fx, y) các giá trị sau :

(x,y) = (0,0),(0,1),(0,2),(0,3)...

(LOựl^HMMl/l)...

(2,0),(2,1),(2,3),(2,4)... * và lập Bảng sau, mô tả quan hệ R "được lượng tử hóa", ký hiệu là R(LT) :

R(LT) 1 2 4 3 0

1 exp{-9k} exp{-k} 0 exp{-4k} exp{-16k}.

1 exp{-k} exp{-4k} exp{-k} exp{-9k}. 1

1 exp{-4k}. exp{-4k} exp{-k} exp{-k} 2 exp{-9k} exp{-4k} exp{-k} 1 exp{-k}. 3 exp{-k} 4 exp{-9k} exp{-4k} exp{-k} 1.

Tiếp theo, với phép nhân Max Min ta được Bảng sau

0 1 3 4. R(LT) 0 R(LT) 2

0 1 exp{-k} exp{-k} exp{-4k} exp{-4k}...

1 1 exp{-k} exp{-k} exp{-k} exp{-4k}...

2 exp{-k} exp{-k} 1 exp{-k} exp{-k}...’ exp{-4k} exp{-k} exp{-k} 1 3 expl-k}...

4 exp{-4k} exp{-4k} exp{-k} exp{-k} 1

Ta thấy rõ ràng

R(LT) 0 R(LT) D R(LT)) => R o R 3 R.

Từ đó, ta thấy rằng quan hệ gần nhau không phải là một quan hệ bắc cầu. Trên thực tế, điều này cũng đúng như thế. Trong cuộc sống không phải là nếu tôi gần anh, và anh gần nó, thì tôi sẽ gần nó !, Quan hệ

R(x,y) = 0, y < X, = exp(-x), y > X, là một quan hệ bắc cầu Max Min. Bạn đọc có thể chứng minh bằng phương pháp lượng tử hóa như trên.

III - CÁI ĐÓNG BẮC CẦU CỦA MỘT QUAN HỆ HAI NGÔI

Trên đây đã nói tới một số trường hợp quan hệ bắc cầu Max Min. Trong trường hợp chung, tính chất này không nhất thiết khi nào cũng xảy ra. Vì thế, người ta đưa ra một khái niệm mới, cho phép tạo ra được một quan hệ bắc cầu Max Min trong trường hợp chung. :

ĐỊNH NGHĨA

Cho một quan hệ mờ Tỉ. Quan hệ dạng

Ố = 7ĨU7ỉ2Ufí3U R2 = R o R, R3 = R2 o R...

gọi là cái đóng bắc cầu Max Min của quan hệ R.

ĐỊNH LÝ

Cái đóng bắc cầu Max Min R có tính bắc cầu Max Min :

Ạ A A R o R Q R.

Quả vậy, từ định nghĩa, ta được

Ẩ 0 Ồ = CRU.R2U K3U R4...) o ÍÍỈUfì2Ufí3 ufí4...) =

= R2 \J R3 u R4... c R.

Có thể chứng minh rằng với hệ quy chiếu hữu hạn, card E = n, thì có thể tìm được một k c n sao mà

B = fl u R2... u RF

Ví dụ a b c R2 a. R c b

0,8 a 1 a 0,8 0,8 0,1 0,2 b 0 0,4 0 b 0 0,4 0

0,3 c 0 0,2 c 0,3 0,3 0,2

R3 a b c a 0,8 0,8 0,2 b 0 0,4 0 c 0,3 0,2 0,3 -R3 = R2, card E = 3, k = 2, ố = fì u Tỉ2

A b c a R

1 0,8 0,1 a

0,4 0 0 b

0,3 0,2 0,3 c

Ví dụ

Cho quan hệ a s b a 0,3 0,6

. 1 0,2 b

0,8 c 0 s2 b c a

0,6 a 0,6 0,3 0,7 0,2 b 0,3

0,2 0,7 c 0,8 s4 a b c

0,6 0,3 0,6 a

0,7 0,3 b 0,3

0,7 0,7 0,3 c c sh a b

0,6 0,3 0,6 a

0,7 0,3 b 0,3 0,7 0,3 0,7 c b R 0 R a c a 0,8 0,1 0,1 b 0,4 0 0

0,3 c 0,3 0,2 b c

0,2 0,6 0,2 0,7

0,8 0,1 s3 a b c

0,6 a 0,3 0,3 b 0,7 0,3 0,7

0,3 0,7 0,2. c a b c s5 a 0,3 0,6 0,3 b 0,7 0,3 0,7 0,3 c 0,3 0,7 s7 a ừ c a 0,3 0,6 0,3 b 0,7 0,3 0,7

0,3 0,7 0,3 c

Ta được

A s b a a 0.6 0,6 b 1 0,7 c 0,8 0,8

Chú ý

R a b d e c a 0,5 0,9 0 0,5 0 b 0 0,7 0 0 0 c 0 1 0 0,1 0,1

1 0,4 1 0 d 0 e 0,7 0,9 0 0,5 0 không tính chất đó.

ĐỊNH NGHĨA

Cho một quan hệ R. Quan hệ dạng gọi là cái đóng hắc cầu Min Max của R.

Có thể chứng minh rằng

V — V

ĐỊNH LÝ

hệ thức sau :

b c

0,6 0,6

0,7 0,7

0,7 0,8 s a b c d e a 0,7 0 0 0 0

0,6 0,8 b 1 0,6 1 c 0 0,5 0 0,5 0

0 d 0 0,2 0,4 0 e 1 0,6 0,8 0,6 1.

R = Ř. Trước hết chúng ta hãy chứng minh rằng ROR = RòR Quả vậy, theo định nghĩa, ta có (Ro R) (x,2) = Max (Min [Ríx,y›,Min(y,z/l), từ đó RoR(x,7) = 1 - (R o R)(x,z) = 1 - Max {Min[Ríx,J),R(y, z)7}.

Nhưng theo các quy tắc De Morgan, vế phải chính là Min (Max [R(x,y), R(y, z)] = (Rõ R)(x,z). Tiếp theo, theo định nghĩa, ta được R = RU (ROR) Ü (ROROR)... = R n (ROR) n (ROROR)....= = Rn (ROR) n (RORTR) n... = Ř, apem.

ĐỊNH NGHĨA Cho một quan hệ mờ R. Quan hệ R=RU IR. R)UIR. R. B)...

gọi là cái đóng bắc cầu Max Tích của R. Có thể chứng minh rằng quan hệ này có tính chất bắc cầu Max Tích : Ệ. Ệ SẬ

IV - QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG MỜ Ta bước sang một trong những khái niệm tối quan trọng là khái niệm tương đương mờ.

ĐỊNH NGHĨA Một quan hệ đồng tính có tính bắc cầu Max Min gọi là một quan hệ tương đương mờ. Như thế, theo định nghĩa, một quan hệ tương đương mờ trên tập tích E × E, E = {x), phải có ba tính chất sau :

1. Tính phản xạ

2. Tính đối xứng

3. Tính bắc cầu Max Min

Ví dụ

R a b c a 1 0,8 b 0,8 1 c 0,7 1 0,7

1 0,8 d

0,9 0,8 e s a b c a m m ĩ b 1 m m c m 1 m d m m m e m m m

3. T a b d c a 1 a a a b a 1 ẹ ^ c a 1 7 a d 1 £ 7 e a ổ 7 a ỗ f /í 7 a ỗ ẽ 7 d e c

0,7 1 0,9

0,7 0,8 0,8

0,7 1 0,7

0,7 1 0,9

0,7 0,9 1 c ẩ e m m m m m m

1 ni m m 1 ni m m 1 m G [0,1].

d e f g a a a a

7 7 7 7

1 ỗ ỗ ỗ ổ 1 g ỗ 1 V V

V 1 ỗ p

/ì c V « 1. Q^a^/ỉ^y^Ỗ^

T cũng là một quan hệ tương mờ.

4. Cho quan hệ

U(x,y), (x,yj e R(+) X R(+), khi y < X, k > 1 exp{-k(y+D)

U(x,y) = khi X = y, khi y > X, k < 1. exp {-k(x+D} u cũng là một quan hệ tương đương mờ.

ĐỊNH LÝ

Cho quan hệ tương đương mờ R d E X E, và X, y, 2 e E. Thế thì ta luôn luôn có hoặc c > A = B, hoặc A ^ B = c hoặc B & c = A

ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH

Cho một quan hệ tương đương R với

R(x,y) = la;}, Oị e [0,1].

Thế thì ta có, theo định lý phân tích

R = Max la,.. íjb

Vấn để đề ra cho cấu trúc này là các quan hệ thông thường mức Oi cũng đều là những quan hệ tương đương, nghĩa là tính tương đương được bảo toàn trong định lý phân tích.

Ví dụ

Cho quan hệ R sau

c R a Ễ>

1 0,8 a 0,7 b 0,8 1 0,7 c 0,7 1 0,7 d 1 0,8 ó,7 e 0,9 0,8 0,7

Ta có a b c e d «1

1 a 1 1 1 1 b 1 1 1 1 1

1 1 1' c 1 1 d 1 1 1 1 1 e 1 1 1 1 1 a b e c d «3

1 a 0 0 1 1 b 1 0 0 0 0

0 0 0 c 1 0 d 1 0 0 1 1

1 0 0 1 e 1

CHỨNG MINH

c d e

0,7 1 0,8

0,7 0,8 0,8

1 0,7 0,7 0,9 ó,7 1

0,7 1 0,9 b R, a c d. e a 1 1 0 1 1 b 1 1 0 1 1 c 0 0 1 0 0 d 1 1 0 Ọ 0 e 1 1 0 1 1 a b c d e «4 a 1 0 0 0 0 b 0 1 0 0 0

0 0 c 1 0 0

0. d 0 0 1 0 c 0 0 0 0 1

nghĩa là các quan hệ thông thường trong cái phân tích của quan hệ mờ cũng đều là quan hệ tương đương.

V - QUAN HỆ BẤT TƯƠNG ĐƯƠNG MỜ

ĐỊNH NGHĨA

Một quan hệ bất đồng tính có tính bắc cầu Min Max gọi là một quan hệ hất lương đương mờ. Như thế, với một quan hệ tương đương mờ, ta có các tính chất phản phản xạ, đối xứng và bắc cầu Min Max :

Rix.xì = 0.

Rfx,y) = R<y,x/

R () R ^ R.

ĐỊNH LÝ

Nếu R là một quan hệ tương đương mờ, thì R sẽ là một quan hệ bất tương đương mờ và ngược lại :

R f) R Q R <^R () R "2 R.

Quả vậy, ta đã chứng minh được đảng thức

RoR = R oR.

Hơn nữa, ta biết rằng

Nếu A c B thì A 2 B.

Từ đó, ta được

R () R = RoR D R. đpcm.

VI - KHOẢNG CÁCH MIN MAX VÀ KHOẢNG CÁCH MIN TổNG

Ta nhác lại các tính chất của khái niệm khoảng cách diA.B) :

1. d(A,Bl ? 0, d(.A,Bì = 0»A = B.

2, d(A,B) = đ(B.Ai, 3. d(A,C) $ díA,B) •:♦ d(B,C), »♦♦ là phép toán liên quan đến nội dung khái niệm khoảng cách đang xét.

KHOẢNG CÁCH MIN MAX

Mặt khác, như đã thấy, nếu R là một quan hệ tương đương thì s = 7 ? lại là một quan hệ bất tương đương thỏa mãn các tính chất sau :

1. S(x,y) 3= 0. Sfx,yi = 0 as X = y.

2. S(x,ỵj = Síy.xỉ, 3. Sfx,z) $ Min { Max [S'X. y>. S'y.ĩ/]1 = S(x.yi V S(y. z).

dấu •*• trỏ phép Min Max đang xét.

Thành thử. đôi chiếu với định nghĩa của khoảng cách, ta thổy^ầng quan hệ s đóng vai một th. ••u.'l- với phép hợp Min Max. Điều này rất cần thiết về sau phí’- loại, tách và gộp. này. tron"

cầu Max Tích của nó là quan hệ sau

A ĩ).

A _ _ A D (x,z) « Min D * ỵ

Ví dụ

1. Cho quan hệ tương đương mờ

R a b c a 1 0,2 0,3 b 0,2 1 0,3 c 0,3 0,3 1 d 0 0,2 0,3 e 0,2 0,3 0,1 loại Max Min như sau

D a b c a 0 0,8 0,7 b 0,8 0 0,7 c 0,7 0 0,7 d 1 0,8 0,7 e 0,9 0,8 0,7

A ĩ).

A + D ở^) fe')

c e d

0,3 0 0,1

0,3 0,2 0,2

1 0,3 0,3

0,3 1 0,1

0,3 1 0,1 e d c

0,7 1 0,9

0,7 0,8 0,8

0 0,7 0,7

0,7 0 0,9

0,9 0,7 0

2. Cho quan hệ đồng tính

R b c a a 1 0.1 0.8 b 0 1 0,1 c 1 08 0 d 0,7 0,2 0,3 e 0,3 1 0

Ta thu được khoảng cách Min Tổng sau

D c a b

01 a 0,664

0,664 0 b

0,2 c 0,58 0 d 0,44 0,4 e 0,664 0

3. Cho quan hệ đồng tính

R 0 1 2

0 1 1/2 1/3

1 1/2 1 1/2

2 1 1/3 1/2

3 1/4 1/3 1/2

4 1/4 1/5 1/3

A 0 R 1 2

0 0 1/2 2/3

1 1/2 0 1/2

2 2/3 0 1/2

3 3/4 2/3 1/2

4 4/5 2/3 3/4 c d e

0.8 0.2 0.3

0 0,3 1

1 0,7 0

0,7 1 0,6

0 0,6 1 c d e

0,2 0,44 0,664

0,58 0,4 0

0 0,3 0,58

0,3 0 0,4

0,58 0,4 0

2 3 4 5

1/3 1/4 1/5 1/6

1/2 1/3 1/4 1/5

1 1/2 1/3 1/4

1/2 1 1/3 1/2

1/3 1/2 1 1/2

2 3 5 4

2/3 3/4 5/6 4/5

2/3 4/5 1/2 3/4

1/2 0 2/3 3/4

1/2 0 1/2 2/3

2/3 0 1/2 1/2

Khái niệm khoảng cách Min Tổng cho phép tiến hành các phép gộp, như sẽ thấy sau này.

4. Cho 6 thông điệp sau d e a b T c f ể

0 0,8 0,3 1 1 A 0,1 0,1 ĩ 0,7 0,3 0,8 1 0 B 0,1 0 0,8 0.3 0,7 c 1 1 0,7

0,8 0,7 0 1 0,3 D 0,1 0,1

0 0,8 0 1 E 0,6 1 0,7

0,5 0,8 0,3 0,5 F 0 0,1 0,1

Vấn đề đề ra là tìm cách gộp các thông điệp đó lại, theo khoảng cách. Khái niệm khoảng cách Min Max, tương ứng với một quan hệ bất tương đương là rất thích hợp cho bài toán này.

Khái niệm khoảng cách Min Tổng lại không thích hợp, do khi phân tích những quan hệ mờ tương ứng với những khái niệm khoảng cách đó, thì các khái niệm thông thường thu được từ các khái niệm đó có các tính chất :

- Bảo toàn tính bắc cầu đối với khoảng cách Min Max.

- Không bảo toàn tính bắc cầu đối với khoảng cách Min Tổng.

Bây giờ, ta tìm cách xây quan hệ bất đồng tính từ thông điệp trên. Ta hãy lập khoảng cách Hamilton tương đối ỗ (A, B) = d (A,Bj/6...

từ đó ta thu được quan hệ bất đồng tính sau :

A D E F ỗ B c

A 0 0,34 0,44 0,34 0,25 0,28

0,25 0 0,31 0,32 B 0,40 0,42 c 0,34 0,31 0. 0,61 0,14 0,54

0,44 0,32 0,61 D 0 0,27 0,64

0,28 0,42 0,14 E 0,64 0 0,54

0,34 0,40 0,54 F 0,27 0 0,54

Tiếp theo, để có tính bác cầu Min Max ta hãy dựng cái đóng bắc cầu Min Max của <5 : •

V _ _ _ <5 = <5 n (ỏ (ỉ ỗ) n (ố () (5 () ổ) n...

Ta được kết quả

V A B c

0,25 0,22 A 00

0,28 B 0,25 0 c 0 0,28 0,28

0,32 D 0,32 0,32

0.14 0.28 E 0,28

0,32 F 0,32 0.32

Ị d = 0 B c A

1 A 0 0

0 1 0 B

0 0 1 c

0 D 0 0

0 0 0 E

0 0 F 0 một thông điệp riêng rê.

5, d = 0,14 A B c

1 A 0 0

0 1 0 B

0 1 c 0 0 0 0 D E 0 0 1

0 F 0 0

F c D E

0,22 0.28 0,32 0,32

0,28 0,32 0,28 0,32

0 0,32 0,14 0,32

0,32 0 0,32 0,27

0.14 0.32 0 0.32

0,32 0.27 0.32 0 c E F D

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

c D E F

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 1 0

0 1 0 0 '

1 0 1 0

0 0 0 1

Hệ thống điệp gộp thành 5 nhóm 3. D = 0,25 d, a = 0,25 A B

A 1 0 0 HO C D - E 0 o •

Hệ thống điệp gộp thành 4 nhóm • 5. D = 0,27 d, a = 0,27 A B D E F

A B c ố, d = 0,28

A 1 1 0

1 1 1 B c 0 1 1

0 D 0 0 1 1 1. E

0 0 F 0

Hệ thống điệp gộp thành 3 nhóm

A ó, d = 0,32 B c

A 1 1 1

1 1 1 B c 1 1 1

D 1 1 1

1 E 1 1

1 F 1 1 chúng ta thu được một đổ thị gọi là cây gộp.

c D E F

0 0 1 0

1 1 0 0

1 0 0 1

0 1 0 1

1 1 0 0

0 1 0 1

Hệ thống điệp gộp thành 2 nhóm c D E ■ F

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

Cây gộp thành nhóm, theo hệ các tiêu chuẩn khoảng cách d, và cái đóng bác cầu Min Max : d = 0, (6 nhóm), d = 0,14, (5 nhóm), d = 0,25, (4 nhóm), d = 0,27, (3 nhóm), d = 28, (2 nhóm), d = 0,32, (1 nhóm)

TÍNH THIẾU ƯU VIỆT CỦA KHOẢNG CÁCH MIN TỔNG

Chúng ta hãy đưa ra ví dụ sau để chứng tỏ tính thiếu ưu việt của khái niệm khoảng cách Min Tổng, so với khái niệm khoảng cách Min Max, trên tính chất bắc cầu Cho quan hệ 7 ?

a (i R b e c

0,3 a 1 0,2 0,8 0,1 b 1 0 0,3 1 0,1 c 1 0,7 0 0,8 0 d 0,3 1 0,6 0,2 0,7 e 0 0,6 1 0,3 1

Ta được

0,8 0,21 0,42

0,8 0,42 0,42 d 0,56 0,6 0,7 e 0,336 1 0,42 0,6

R.R.R.R a b e 0,336 1 0,42 0,6 1

Từ đó ta được i = B U (R.B) U (HER) U (BRR.R)

e 1 0,336 1 0,42 0,6

lấy bổ sung, cuối cùng ta được khoảng cách Min Tổng R :

A R a b *

0,664 1 a

0,664 0 b c 0,2 0,58 0 0,44 0,4 d e 0,664 ũ d = 0,4 a b c a 10 10 0 b c 10 0 d

10 0 e

d = 0,44 a b c

1 a 0 1

0 1 b ' 0

1 0 1 c

1 1 1 d

0 1 e ũ c d e

0,2 0,44 0,664

0,58 0,4 0

0 0,3 0,58

0 0,4 0,3 0,58 04 0 c d e

10 0 11 110

11 d = 0,4 :

Không có tính bắc cầu giữa a, c, d chẳng hạn d e c

1 1 0

0 1 1

1 1 0 1 1 1 ũ 1 1

d = 0,44 :

Không có tính bắc cầu giữa e, d, c...

Như thế là qua ví dụ trên, khi phân tích quan hệ mờ với khoảng cách Min Tổng, có khả năng một số quan hệ thông thường không đảm bảo được tính bác cầu. Khoảng cách Min Max tỏ ra ưu việt hơn.