Quan hệ thứ tự mờ

QUAN HỆ THỨ Tự MỜ

Quan hệ tối quan trọng thứ hai là quan hệ thứ tự mờ.

I - QUAN HỆ TIỀN THỨ Tự MỜ

ĐỊNH NGHĨA

Một quan hệ R, xác định trên E X E, có các tính chất phản xạ và bắc cầu Max Min

- R(x, X) = 1, với mọi X e E,

-RoRQR,

gọi là một quan hệ tiền thứ tự mờ.

Với quan hệ tiền thứ tự mờ, có thể chứng tỏ rằng tính phản xạ dẫn đến một hình thái đặc biệt sau của quan hệ bắc cầu Max Min :

R2 = R 0 R = R.

từ đó, ta được

Rk = R,

và cái đóng bắc cầu Max Min sẽ là

R = R u {R 0 R) u (R o R o R) u = R.

Ví dụ

b ở a c e

1 0.7 â 0,8 0,5 0,5 b 0 1 0,3 0 0,2 c 0,2 í 0 0,7 1 0 ơ 0,6 1 0,9 1 0,6 e 0 0 0 0 1

Như thế R là một quan hệ tiền thứ tự.

Quan hệ không phải là một quan hệ tiền thứ tự.

R a

1,2 a b 0 c 0 quan hệ như thế gọi là nửa - tiền thứ tự.

b a flĩ c a 1 0,2 0,2 b 0,2 1 0,5 c 0,2 0,5 1

0,2 0.2 0,2 d e 0,2 0,2 0,2 f 0,2 0,2 0,2

0,2 0,2 0,2 g và quan hệ u

A Ư| B

c 0,5 0,2

a b c

1 0,4

0 0,6 0,3

0 1 0,3 f d c e g

0,2 0,2 0,3 0,4 0,2

0,2 0,5 0,2 0,3 0,4

1 0,2 0,2 0,3 0,5

0,2 1 0,8 0,3 0,5

0,2 1 0,8 0,3 0,5

0,2 0,2 0,2 1 0,4

0,2 0,2 0,2 0,2 1 c B D

0,2 0.2 0.5 :

1 0.2 0,2

0,2 1 0,5 1 0,2 0,2

phận, trong số đó có các quan hệ sau :

a b c Lì

1 0,2 0,2 a

0,2 1 0,5 b

0,5 1 0,2 c

0,2 0,2 0,2 d

0,2 0,2 0,2 e f

M\ a b c a b c d e f

Nì b c a b c d e f b a c Pĩ a b c d e f d e f g

0,2 0,2

0,2 0,2

0,2 0.2

1 0,8

0,8 1 f d e g

d e f e d g

0,4 0.4 0,5 0,5 0,5

Qt a b c a b c d e a b c d e f

0.2 0,2 0,2 9 a b c a b c d e f

0,2 0,2 0,2 g b c a a b c d e f f e c d g

0,3

0 3

0.3

0,3

0,3

0,2 0,2 c d e f g

0,2 0,2 c d e f g - 0,4

c b d e a ỉ g a b c d e f

0,2 g

Bây giờ ta chuyển sang quan hệ u, quan hệ này có thể phân thành ba quan hệ sau

D vt

c D wt D

A B c D

Vĩ D

A B c D

Dễ chứng tỏ rằng các quan hệ L, M, N, V, w, z là những quan hệ tương đương mờ. Ta nói rằng các quan hệ R và ư tương ứng có thể phân thành nhiều quan hệ tương đương mờ.

Các phần tử {a, b, c, đ, e}, {f}, {g] và [A, B), {B, c}, [:B, D} tạo nên những lớp gọi là lớp các phần tử tương đương.

Hai ví dụ trên có những tính chất khác nhau như sau :

- Quan hệ R phân thành nhiều quan hệ tương đương không giao nhau,.

- Trái lại. quan hệ ư phân thành nhiều quan hệ có giao nhau.

Ngoài ra, các quan hệ con của R là cực đại, nghĩa là không có một quan hệ tương đương con nào của R bao các quan hệ con đó.

ĐỊNH NGHĨA

Một quan hệ tiền thứ tự mờ gọi là khả quy nếu có thể phân thành nhiều quan hệ tương đương mờ không giao nhau. Trong trường hợp trái lại, quan hệ đó gọi là bất khả quy.

Trong việc phân một quan hệ tiền thứ tự mờ khả quy thành nhiều quan hệ con tương đương, cần tìm những quan hệ tương đương cực đại.

Qua quá trình này, quan hệ tiền thứ tự mờ ban đầu sẽ hiện ra như thế nào ?

Ta hãy minh họa quá trình này qua ví dụ với quan hệ mờ R.

- Các quan hệ con tương đương L, M, N được thay bằng ba đỉnh của đồ thị.

- Quan hệ con p được thay bằng chỉ một phần tử có giá trị lớn nhất, đó là phần tử 0,5.

- Quan hệ con ộ cũng như thế, đó là phần tử 0,3..

- Các quan hệ con s, T, J, K - cũng như thế - được thay bằng phần tử 0,2, 0,2, 0,4 và 0,2.

Cuối cùng, kết quả của quá trình biểu diễn quan hệ R theo các thành phần khả quy L, M, N, p, Q, s, T, J, K với cách thay thế trên - gọi là theo "con đường mạnh nhất" - là :

QUAN HỆ THỨ Tự MỜ

KHÔNG NGẶT NGẶT

Phản đối xứng

3(x, y) R(x, y) * R(y, x) hay R(x, y) = R(y, x) = 0

Bắc cầu Max Min

R 0 R c R

Phản xạ

R(x, X) = 1

Ví dụ

c B A D H f

A 1 0,8 0 0

B 0,2 1 0 0 c 0,7 0,8 1 0,9

D 0 0 0.2 1

T 1 0 2 exp(-1) exp(-2) 0 1 exp(-3) 1 0 1

2 0 0 1

0 3 0 0

4 a b Ư T a 1 0,4 b 0 1 c 0 0 d 0 0 e 0 0

QUAN HỆ THỨ Tự MỜ

NGẶT HOÀN CHỈNH

Phản xứng hoàn toàn

R(x, y) > 0 => R(y, x) = 0

Bắc cầu Max Min

R 0 R c R

Phản xạ

R(x, x) = 1 a st b ứ c

0 0,9 0,7 0,7 a b 0 0 0.6 0.9 c 0 0 0 0.6 d 0 0 0 0

3 4 2 exp(-2) exp(-3) exp(-4)

exp(-3) exp(-4) exp(-5)

exp(-5) exp(-6) 1 exp(-7) 0 1

11« d c e

0,2 0,7 0,9

0,4 0.3 0,2 í

1 0,1 0,6

0 1 0.7

0 0 1

hệ thứ tự mờ hoàn chỉnh.

Quan hệ thông thường theo mức có tính thứ tự toàn phần =>

Quan hệ thông thường theo mức không có tính thứ tự toàn phần =>

Ví dụ

Với hai ví dụ fl và s trên, ta thu tương ứng sau :

D B A c

1 0 0 A 1

1 0 0 B 0 c 1 1 1 1

0 1 D 0 0

Thứ tự từng phần

CíD, CíAíB hệ s có tính chất đó.

Quan hệ mờ tương ứng có tính thứ tự toàn phần =>

Quan hệ mờ tương ứng không có tính thứ tự toàn phần hai quan hệ thông thường gần nhất b d a c

1 1 1 a 0 '

1 1 b 0 0 0 0 1 c 0

Ũ d 0 0 0

Thứ tự toàn phần a c b í c í d

thứ tự và quan hệ thứ tự là :

M N M

B D H A

B 1 0,7 0,7 0,7

M D 0,7 1 0,8 08

H 0 0 1 0.8

A 0 0 1 0,8

N c 0 0 1 0.6 p E 0 0 0,2 0,2

F 0 0 0 0 Q G 0 0 0 0 T 1 0 0 0 0

Các lớp tương đương trong quan hệ K là gọn sau

N M p

M 1 0,9 N 0 1 p 0 0,2 1

Q 0 0 0 0 T tự mờ J.

N p Q T

E F G A c /

0,7 0,7 0,4 0,7 0,7 0,1 08 09 0 4 0.7 0,8 01

0.8 0,6 0,3 0 0 0

1 0 3 0,6 0 0 0

1 06 0,3 0 0 0 0,2 0,2 1 0 0 0

0 0 0 1 0.3 0

0 0 0 0,3 1 0

0 0 0 0 0 1

Q p T

0,1 0,7 0,8

0,3 0 0

1 0 0

0 1 0 0 0 ĩ

này là một quan hệ thứ tự không toàn phần. Vậy theo định nghĩa, quan hệ J là một quan hệ thứ tự mờ không toàn phần (xem đổ thị sau)

ĐỒ thị của quan hệ Đồ thị của quan hệ J theo mức cao nhất thứ tự mờ J thu được từ M í N í p, M í Qf M í T, quan hệ tiền thứ tự K xác định mức độ về thứ tự toàn phần của quan hệ thứ tự mờ J.