Đồ thị mờ và quan hệ mờ

Chương 2 ĐỒ THỊ MỜ VÀ QUAN HỆ MỜ

Trong chương này, chúng ta nói đến một số khái niệm cơ bản có liên quan hữu cơ với bài toán đa tiêu chuẩn. Các khái niệm này cũng quan trọng cho cả toán học nói chung. Trong phần đại số cơ sở, chúng ta đã làm quen với các khái niệm cơ sở như khái niệm quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự. Trong chương này, chúng ta sẽ xem các khái niệm đó sẽ được mở rộng trong lý thuyết tập mờ như thế nào.

• I - ĐỒ THỊ VÀ QUAN HỆ MỜ

A - ĐỊNH NGHĨA Chúng ta hãy bát đầu bằng một ví dụ cụ thể. Cho hai hệ quy chiếu hữu hạn

Ta biết rằng tập hợp các cặp có thứ tự (x;, yk) tạo ra một cấu trúc gọi là tích Descurtes của E và F, ký hiệu là E x F : (Xị, Ук) Е Е X Е, х ; Е Е, Ук Є Е. Nếu bây giờ chúng ta lập Bảng sau R(E → F) SE → F) 0 1 1 1 Уз 1

Trong đó các giá trị của các yếu tố là thuộc tập (0, 1), còn ký hiệu E → F trỏ quan hệ đi từ E đến F, chúng ta sẽ có một biểu diễn thông thường của E x F như sau :

(*p ^1) (*p ?2> (tụ ^3) (x2’ ^1) (Xạ ^2) (x2’ ^3)

1 0 1 0 10 R

10 10 0 0 s thể biểu thị bằng các đồ thị sau :

Đổ thị cho quan hệ s tích F X F và quan hệ T c. F X F

Tt ^1 ^2 3'3

1 1 0

0 1 1

0 1 0 ^3 trong đó mũi tên t trỏ quan hệ đi từ các yếu tố cột đến các yếu tố của hàng. Đồ thị tương ứng là

Rỗ ràng ở đây, cũng như trong các hệ quy chiếu đơn giản ở các chương trước, chúng ta có các hàm thuộc phần dạng :

^ yừ, Sờ;, yk), các hàm này lấy giá trị trong tập hợp hai phần tử {0, 1}.

Bây giờ, cũng như trước, chúng ta hãy mở rộng cảnh giới hàm thuộc từ cảnh giới Boole {0, 1} sang cảnh giới [0, 1]. Chúng ta sẽ thu được những quan hệ chẳng hạn có dạng :

Đó là những trường hợp tương ứng với những hệ quy chiếu hữu hạn.

Đối với những hệ quy chiếu vô hạn như R, R(+), ta cũng có những quan hệ mờ như trên, ví dụ :

nếu ỵ ^ X, R(x, y) =

1/{1 + l/(x - y)2}, nếu y < X.

Quan hệ mờ này có nghĩa là y rất bé đối với X khi X —* co, vì khi này thì hàm thuộc gần bằng 1.

Một ví dụ khác :

S(x, y) = exp { (~k(y - x)2}, k > 1.

Quan hệ này có nghĩa là y rất gần X, vì khi này thì hàm thuộc gần bằng 1.

B - QUAN HỆ BAO

Cho hai quan hệ mờ xRy = R(x, y) và xSỵ = R(x, y), Fx, yj &E X F. Nếu

R(x, y) > S(x, y), với mọi X, ỵ thì ta nói quan hệ R bao quan hệ s và ký hiệu R ^ s.

Ví dụ R (X, y) = xRy = 1 - exp |-k(x - y)') và S(x,y) = xSy = 1- exp{-j(x - y)'). Nếu j > k thì dễ thấy rằng xRy ≥ xSy tức là R 2 S. Các quan hệ R và S có nghĩa là x và y khá xa nhau, vì khi này thì hàm thuộc gần bằng 1.

II - CÁC PHÉP TOÁN GIAO, HỢP, BỔ SUNG ĐỐI VỚI CÁC QUAN HỆ MỜ. PHƯƠNG ÁN ZADEH Các định nghĩa về các phép giao, hợp, bổ sung đối với các quan hệ mờ cũng tương tự như với các tập mờ. Cụ thể là : X(R ^ S)y = Min { xRy, xSy], x(R U S)y = Max {xRy, xSy}. x(R)y = 1 - xRy. • Ví dụ : Cho R và S R (E → F) S (E → F) Із 0,2 1 0,3 0,4 0,6 0,1 0,5 0,7 1 0,2 0,3 0,7 0,6 0,4 1 ta được

(R N S) (E → F) 0,2

(R U S) (E → F)

0,4 1 0,6 0,7 1 0,5 Хз 1 0,4 1

{R} (E F) ^3 ^1 ^2

0,8 0 0,7 X1

0,9 1 0,5 x2

0 0,3 0,7 x3

K

R n s R u s

Các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối... quy tắc De Morgan, phi bài trung... cũng hoàn toàn giống như với các tập mờ. Chẳng hạn là với

X e E, y e F, Y = E X F, ta được

RUY=Y, RQY^R, 0VR=R, 0r\R = 0t i

R u R * Y, R C\ R * 0...

Ví dụ

Một số ví dụ khác về hệ quy chiếu liên tục :

E = R(+). F = R(+J

R : X và y gần nhau R : X và y không gần nhau

R u R * Y, với R : X và y gần nhau R n fl # 0, với R : va ự gần nhau

III - PEƯƠNG ÁN CỘNG XÁC SUẤT TÍNH TRÊN QUAN HỆ MỜ

ĐỊNH NGHĨA

xịA. B)y = (A. B)(x, y) = A(xỶ y). B(x, y), x(A + Bì = (A + B^x, y) = A(xt y) + B(x, y) - A(x, ỵ). B(x, y).

Có thể chứng min.1 lược các tính chất sau có liên quan đến các phép giao, hợp, và các phép tính thuộc phương án cộng xác suất tính :

IV - CÁC PHƯƠNG ÁN HỢP THÀNH GIỮA CÁC QUAN HỆ MỜ

Ngoài các phép tính logic trên, các quan hệ mờ khác nhau có thể hợp thành lại với nhau bằng nhiều cách. Như sẽ thấy sau này, các phương án hợp thành này là cơ sở của một tính chất rất quan trọng là tính chất bắc cầu.

PHƯƠNG ÁN HỢP THÀNH MAX MIN

Cho hai quan hệ

RCExF và. ScFxG,E = {%}, F = ty, G = zì, E X F = {(x, y)}, F X G = {(y, z)}, E X G = {(x, z)}.

Thế thì phương án hợp thành Max Min, theo định nghĩa, là (RoS)(x, z) = MaxMin{R(x, y), S(y, z)}. y

PHƯƠNG Án HỢP THÀNH MIN MAX

(RoS)(x, z) = MinMax {R(x, y), S(y, z)}. y

PHƯƠNG ÁN HỢP THÀNH MAX TÍCH

(R. S) (x, z) = Max {R(x, y). S'(y, z)}, y trong biểu thức ở vế phải, dấu chấm trỏ phép nhân thông thường.

Các phương án Max Min, Max Tích gộp lại với nhau thành phương án "Max Sao" với ký hiệu

R * s = {Max Min hay Max Tích}. t

Ví dụ

Cho hai quan hệ mờ sau

RT Уз У4 0,1 0,2 1 0,7 0,3 0,5 0,2 1 0,8 1 0,4 0,3

ST " "У+i 0,9 0,3 0,4. 0,2 1

1 0,8 Với (x, 2) = (X1, 21), ta được, theo định nghĩa ([/ [1) = = Max (Min [(0,1), (0,9)], Min[(0,2), (0,2)), Min[(0), (0,8)], Min[(1), (0,4)], Min[(0,7), (0)]) = = Max 1(0,1), (0,2), (0), (0,4), (0)} = 0,4. (ROS) (x,, 41) = = Min {Max (0,1), (0,9)1, Max[(0,2), (0,2)],Max[(0), (0,8)], Max[(1), (0,4)], Max[(0,7), (0)]} = = Min {(0,9), (0,2), (0,8), (1), (0,7)} = 0,2. (f.S) (X1,21)= = Max {[(0,1). (0,9)], [(0,2).(0,2)1, [(O).0,8)1, [(1).(0,4)), [(0,7).(0)]) =,N' ? = Max 1(0,09), (0,04), (0), (0,4), (0)} = 0,4 Cuối cùng ta được, chẳng hạn w.ti. ROS(E → F) 0,4 0,7 0,3 0,7 0,3 1 0,5 0,8 0,8 0,3 0,7 1 Bây giờ chúng ta chuyển sang hệ quy chiếu liên tục. Ví dụ Ta chọn, chẳng hạn, các quan hệ B(x,1)=exp (-k(x - y)), k ≥ 1,

S(x, y) = exp { -kịỵ - z)2}, Ă í 1.

Để tiếp tục tính toán, trước hết, ta hãy cố định hai giá trị X = a, z = b. Như thế, ta được

R(a, y) = exp { —k(a — y)2}, A > 1, a là Tam số, S(x, ờ) = exp { —k(y — b)2}, A > 1, b là tham số.

Từ đó ta được sự hợp thành Max Min sau (RoS)(a, b) = Max {Min [exp{—k(a — y)2U, [exp{—k(y — b)2}]ị, Dựa vào đồ thị, ta thấy rằng cái Min trong biểu thức trên là tọa độ giao điểm của hai đường biểu diễn hàm thành phần của các quan hệ / ? và s (đường hình chuông). Muốn có tọa độ của giao điểm này, chỉ cần cho exp {-k(a - y)2} = exp {ky - b)2}

Ta được ngay kết quả. <1^' ; a< y = (a + b)/2. V

Như vậy, ta được (RoS)(a, b) = exp { —k(a — ỏ)2/4}.

Từ đó với mọi cặp (x, 2), ta được hàm thành phần có dạng (RoS^x, z) = Exp { —kịx — z)2/4).

lexp -k(a-b3/43 / - (a+b)/2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT RO(S N T) = (ROS)N (RO1), RO(SU I) = (RO S)U (RO T), SCI → ROS C RO T.

V- QUAN HỆ THÔNG THƯỜNG GẦN NHẤT CỦA MỘT QUAN HỆ MỜ Cho một quan hệ mờ R(x, y). Theo định nghĩa, quan hệ thông thường gần nhất của một quan hệ mờ R, ký hiệu là R, có hàm thành phần như sau : • khi R(x, y) > 1/2, B(x, y) = khi R(x, y) < 1/2, 0 hay1, khi R(x,y) = 1/2. Về sau này, ta chọn khả năng sau R(x, y) = 0 khi R(X, y) = 1/2. Ví dụ Cho R(E → F) Уз 0,4 0,6 0,9 0 1 0,5 ta được theo định nghĩa

R(E → F)

1 1 0 1

Có thể chứng tỏ được rằng ROS = T = ROS = I.