Những khái niệm cơ bản

Chương 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

I - ĐẠI SỐ BOOLE LƯỠNG TRỊ

HÀM THÀNH PHẦN (HÀM THUỘC) TRONG MỘT ĐẠI SỐ BOOLE LƯỢNG TRỊ Ta hãy quay lại khái niệm đại số Boole đã biết. Cho một tập E : E = ía, b, c, d, el, {X}, và một tập con A của E, A C E • A = {a, d, el. Thế thì, theo định nghĩa, hàm thành phần (hàm thuộc) xác định trên A sẽ là 1 khi x e A, A(x) = O khi x # A. Hàm thành phần chỉ có hai giá trị là 0 và 1 của tập rời rạc (0, 1). Trường hợp trên có thể ghi theo ký hiệu như sau :

A a b C d e 1 0 1 1 hay là A = (al1, bl0, clo, dl1, el 1). Chúng ta cũng biết rằng trong đại số Boole lưỡng trị có xác định ba phép toán là phép giao, phép hợp và phép bổ sung, các phép này thường hay biểu diễn dưới dạng Bảng gọi là Bằng Chân lý :

PHÉP HỢP PHÉP GIAO

Cơ CHẾ MAX Cơ CHẾ MIN

1 A u 8 0 1 A n 8 0

0 1 0 0 0 0

1 1 1 1 1 0

PHÉP BỔ SUNG Cơ

CHẾ Bổ SUNG CỦA 1

CÁC TÍNH CHẤT TRONG ĐẠI SỐ BOOLE

Các tính chất trong Đại số Boole được ghi trước đây trong phần giới thiệu tập mờ.

II-KHÁI NIỆM TẬP MỜ

Chúng ta trước đây cũng đã giới thiệu khái niệm tập mờ và các tính chất của nó, đặc biệt chú trọng đến Tính chất phi bài trung theo phương án Max Min của A.L.Zadeh, là phương án vẫn giữ các cơ chế Min, Max và bổ sung như trong Đại số Boole thông thường.

Bây giờ chúng ta bổ sung thêm vài điểm.

PHÉP KHỐNG CHẾ

Cho một tập hợp có sắp K và hai bộ số thuộc R và s thuộc K, R = [Pụ r2 - r»l.

s = (sp »,... »„).

R, s c K.

Ta nói rằng bộ R khống chế bộ s, sự kiện được ký hiệu là >, khi và chỉ khi

R s Tị í* Sị, i = 1,..., n. ì

Tính chất khống chế có tính bắc cầu :

Nếu R £ s và s > T thì R > T.

TẬP HỢP CÁC PHẦN TỬ MỜ CỦA MỘT TẬP HỢP

Cho một tập hợp E, card E — ni, chẳng hạn là

E = {a, b, c}.

Thế thì, tập hợp các tập con của E sẽ là

P(E) — {0, a, b, c, ab, ac, bc, E}.

Ta có

Card P(E) = 2"'

Bây giờ, ta chuyển sang tập mờ. Giả sử có tập mờ

E = {ữ, 6}, và cảnh giới hàm thuộc (thành phần) là

Thế thì, tập hợp các phần tử mờ của E, kí hiệu là P(E), sẽ là

P(E) = [{(a|0), (ờ|0)}, {(a|0), (6|l/2)}, {(aiO), (ỏ|l)}„

{ (al 1/2), (ờ| 0)], { (al 1/2), (6| 1/2)}, { (a| 1/2), (ò11)}, {(a|l), (6|0)}, {(a|l), (ò|l/2)}, {(a|l), (M 1)} 1

Ta có :

Card P(E) = nmt nếu

Card E = m, Card M = n.

KHOẢNG CÁCH

Khoảng cách là một trong những khái niệm trọng yếu của lý thuyết tập hợp. Giả sử có một tập hợp

F = { a, br c,...}.

Thế thì khái niệm khoảng cách xác định trên F, ký hiệu là D, phải thỏa mãn các điều kiện sau :

D(a, b) > 0, D(a, b) = 0«a = b, tính xác định dương, D(a, b) = D(b, a), tính đối xứng, Día, c) « Día, b) V D(b, c), tính bắc cầu, 2 với V là phép "cộng” xác định định nghĩa cụ thể tùy trường hợp của khoảng cách xác định trên F.

Có nhiều loại định nghĩa khoảng cách, ở đây chúng ta hãy làm quen với hai loại, gọi là khoảng cách Hamming và khoảng cách Euclide.

KHOẢNG CÁCH HAMMING

Cho một hệ quy chiếu E = {xi) và hai tập con mờ A và B. A. B c E. với các hàm thành phần A(xi), B(xi). Thế thì. theo định nghĩa, khoảng cách Hamming giữa A và B sẽ là

B(A, B) = X lA^ - B^l. ì

Với trường hợp hệ quy chiếu liên tục, ta có định nghĩa

D(Ạ B) = J |A(x) — B(x)|rfx.

Dễ thấy rằng định nghĩa trên thỏa mãn các điều kiện về khoảng cách, ở đó ta có

KHOẢNG CÁCH EUCLIDE

Khoảng cách Euclide định nghĩa như sau :

e(A,B) = S|A(li)-B(Ii)|2)1'2 ì

Với trường hợp hệ quy chiếu liên tục, ta có định nghĩa :

DIA, B) = (f |A(x) - B(z)|2ưi-)l/2 ơ đây cũng thế, ta có :

KHOẢNG CÁCH TƯƠNG ĐỐI

Đôi khi cần dùng khái niệm khoảng cách tương đối theo các định nghĩa sau :

Khoảng cách tương đối Hamming

Ổ(A, B) = (cardE) 1 D(A, B).

Khoảng cách tương đối Euclide

B) = (cardE) e(A, B). e (A, Ta có ị

0 í Ổ(A, B) « 1, 0 « E(A, B) í 1 khi E hữu hạn.

III - TẬP MỜ THÔNG THƯỜNG CÓ DỊNH MỨC. CÁC ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH VÀ TỔNG HỢP

Ta hãy nêu lên một số quan hệ giữa tập mờ và các tập thông thường, đồng thời làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các quá trình phân tích và tổng hợp trong phạm vi lý thuyết tập mờ.

TẬP CON THÔNG THƯỜNG ĐỊNH MỨC CỦA MỘT TẬP MỜ Cho một tập mờ A

A x, 0,8 0,1 1 0,3 0,6 0,2 0,5 Tiếp theo, giả sử có một số a E [0, 1]. Thế thì, theo định nghĩa, tập con thông thường định mức a của tập A là : 1 khi A(x) ≥ a, A (x) hay A(a} = 1 0 khi A(8) < a. Với ví dụ trên, ta có chẳng hạn

A 0,8 0,1 1 0,3 0,6 0,2 0,5 A(O, 1} 1 1 1 1 1 1 1 A10, 6) 1 1 1 0 A1O, 8) 1 0 1

ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH Đây là một định lý rất đơn giản, nhưng lại có tầm quan trọng sâu sắc, có liên quan đến phong cách phân tích và tổng hợp trong khi vận dụng lý thuyết tập mờ. Cho A là một tập mờ và các giá trị của hàm thành phần của nó A(Xi) = ai- Thế thì ta có định lý A = Max { ay. A,, az. Az,..., ay A,), với A ; = A{a,).

Ví dụ Cho

Х з

A10,5} 0 A10,7) 0

Từ đó ta có A = Max {a, A,, az..A,...,a,. A,l =

= Max { 0,1 x 1 1 1 1

0,2 x

0 1 1= •

= Max { 0,1 0,1 0,1 0,1