Sơ bộ về lí thuyết hiện đại các tập mờ L. A. Zadeh

sơ BỘ VỀ LÝ THUYẾT HIỆN ĐẠI CÁC TẬP MỜ L.A.ZAÍ)EH

Phần này dành riêng cho những lý luận toán học.

Như đã biết. Triết cổ Đông phương xây dựng trên các cấu trúc Lưỡng Nghi, Tứ Tượng, Ngũ Hành, Bát Quái và Cửu Cung.

Mặt khác, về mặt sơ đổ, các cấu trúc này được xây dựng trên vòng tròn, để mô tả tính có nhịp điệu, tính gần tuần hoàn hay xoắn lốc của các hiện tượng.

Triết cổ Đông phương lại là một lý thuyết về tinh thần, đạo lý, Tâm linh, ‘là những nhân tố mờ. Do đó, cáccấu trúc đó không thể hình thức hóa bằng các lý thuyết toán kinh điển, đã được sử dụng rất thành công trong Vật lý học, là khoa học điển hình về tỉnh chính xác.

Triết cổ Đông phương đòi hỏi một loại toán học khác, xây dựng trên một phong cách tư duy khác, hợp VỚI màu sắc holistic của nó.

Từ năm 1965. đã xuất hiện một phương hướng toán học mới, được sáng tạo bởi nhà toán học California L.A. Zadeh.

LA.7ADEH

Nhà sáng tạo lý thuyết tập mờ, L.A.Zadeh, đã viết : Trong các nghiên cứu từ trước đến này của chúng ta, chúng ta đã phản ánh thế giới thực tại bằng những mô hình toán học không chấp nhận cái mờ. Chúng ta cũng đã cố hết sức mô tả các quy luật chi phối hành vi con người bằng những từ toán học, y hệt như những từ dùng trong việc phân tích các hệ vô sinh. Điều này, theo ý chúng tôi, đã và sẽ luôn luôn là một cổ gắng định hướng sai lầm. Cái mà chúng tôi nghiên cứu là một quan điểm mới, một dạng khái niệm và kỹ năng mới, trong đó cái mờ được chấp nhận như một thực tại phổ biến của sự tồn tại của nhân loại.

A.KAUFMANN

Nhà toán học A.Kauímann viết :

Tư tưởng chúng ta ít nhiều là mờ. Ngoài phương pháp cục bộ logic, tư duy con người còn có phương pháp tổng thể, và phương pháp này là mờ.

R.R.YAGER

Nhà toán học R.R.Yager viết :

Hiện nay đã công bố hơn 3.000 bài báo, có liên quan trực tiếp đến những vấn để lý thuyết tập mờ rất quan trọng. Còn đối với những tiềm năng ứng dụng của lý thuyết đó, chúng tôi cho rằng hiện nay chúng ta chỉ mới thấy cái đỉnh của một đảo bàng.

H.J.ZIMMERMANN

H.J.Zimmermann, chủ tịch hội quốc tế các hệ thống mờ. viết :

Một trong những câu hỏi thường được đưa ra là : các tập mờ liệu có thể được sử dụng trong thực tiễn không ? Tại những thời điểm ban đầu của một lý thuyết mới, câu hỏi này đặc biệt rất là khó.

Sau đây là những giới thiệu vài điểm về cơ sở của lý thuyết tập mờ, cần thiết cho cuốn sách chúng tôi. Những phần đi sâu hơn sẽ được trình bày trong Phụ lục.

I - HÀM THUỘC, vũ TRỤ TẬP MỜ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRONG LÝ THUYẾT TẬP KINH ĐIỂN

A- HÀM THUỘC VÀvVŨ TRỤ

Cho y là một tập kinh điển, gọi là Vũ trụ (tập mờ) hay Hệ quy chiếu, chẳng hạn là

Y = [a,b,c,de] = {y}.

Ta hãy lấy một số tập con của Y, ví dụ là

A = {a,c,d,e}, B = { c,d,e}, c = {a,b}.

Để xác định các tập con đó, người ta đưa ra khái niệm hàm thuộc hay là hàm thành phần, ký hiệu là p (,fonction d’appartenance, membership function), định nghĩa như sau ;

0, khi và chỉ khi y không thuộc A, 1, khi và chỉ khi y thuộc A.

(kí hiệu Afy> dựa vào công trình của Negoita, để viết cho đơn giản).

Tập hai phần tử 10, 1) gọi là tập đánh giá. Với các ví dụ trên, theo định nghĩa của hàm thuộc, ta có chẳng hạn :

Afa) = 1, A(b.) = 0, B(a) = 0, B(cj = 1, Cíe) = 0...

Cần nhớ rằng :

Y(y) = 1, 0(y) = 0 với mọi y

II - LÝ THUYẾT TẬP MỜ THEO ĐỊNH NGHĨA CỦA ZADEH VÀ NGUYÊN LÝ PHI BÀI TRUNG

Năm 1965, như đã nói ở trên, A.Zadeh sáng tạo ra lý thuyết tập mờ. Khác với lý thuyết tập kinh điển, ông mở rộng tập đánh giá của hàm thuộc từ tập rời rạc {0,1} sang tập liên tục [0,1], nghĩa là giá trị của hàm thuộc không phải chi là 0 và 1, mà trải một cách liên tục từ 0 đến 1.

A- ĐỊNH NGHĨA

Các định nghĩa về các phép giao, hợp, bổ sung vẫn giữ nguyên như cũ, tức là phép hợp vẫn định nghĩa theo Max, phép giao theo Min và phép bổ sung theo hép trừ như trong lý thuyết tập kinh điển.

Cần nói thêm về phép bao và quan hệ bằng nhau, tuân theo định nghĩa sau :

A B ^ {Ay) 5= B'yi} với mọi y.

Chúng tôi có thêm dấu chấm trên dâu 2 để thống nhất với cách trình bày sau này.

Cách tiếp cận này của L.A.Zadeh có hai đặc tính : Một là hết sức đơn giản, hai là có tính kế thừa so với lý thuyết tập kinh điển về mặt định nghĩa các phép toán qua Max, Min và phép trừ.

Điểm nổi bật nhất của lý thuyết Zadıh là tất các tính chất của các phép toán của lý thuyết tập kinh điển đêu được giữ nguyên, trừ một tính chất chủ yếu : Nguyên lý bài trung của Chủ nghĩa Duy lý không còn đúng nữa, như sẽ thấy ngay sau đây.

(Â u B)(y) => CA u.8HY) — Max|0. A<yj + BỘ) - 1}.

Với phương án này, các tính chất lũy đảng, phân phối, hấp thụ đều bị vi phạm. Các quy tác De Morgan và nguyên lý bài trung đều được tôn trọng. Hai phương án sau này gọi là phương án tương tác (Interactive version).

Còn phương án của Zadeh gọi là phương án không tương tác (nointeractive version).

III - VỀ TÍNH TƯƠNG TÁC TOÀN BỘ TRONG KHÔNG GIAN NHIỀU CHIỀU CỦA PHƯƠNG ÁN ZADEH

Tính không tương tác của phương án Zadeh có nghĩa là trong các phép giao, hợp - do tính chất lấy Max, Min - kết quả chi đơn giản là một trong hai giá trị tham gia và giữ nguyên giá trị của nó', không chịu ảnh hưởng của giá trị kia.

Ví dụ Min {2,3} = 2, con số 2 này vẫn giữ nguyên giá trị ban đầu của nó, nghĩa là con số 3 không hề ảnh hưởng đến nó.

Nhưng điều này chỉ đúng trong không gian một chiều. Còn trong không gian nhiều chiều thì vấn để lại khác. Ta cần nói đến không gian nhiều chiều do trên thực tế, vấn đề rất phức tạp.

Chẳng hạn, khi nói một học sinh thuộc một lớp nào đó hay không thì hàm thuộc chỉ một chiều. Nhưng thực ra vấn để "định vị" một học sinh bao gồm nhiều tiêu chuẩn : học lực, đạo đức, sức khỏe. Vũ trụ trong trường hợp này là một tích của ba tập hợp :

Y = M X N X p = { J'}, y = { m,n,p}.

với

M = {các tiêu chuẩn học lực} = {m} = { nip my...}, N = {các tiêu chuẩn đạo đức} = { n} = {^|> ^2-h p = {các tiêu chuẩn sức khỏe} = {p} = [p Ị, Py--}Hàm thuộc trong trường hợp này có dạng (A là một tập hợp con của Y).

A(m,n,p) - (Am), A-^n), A ị Ị p) } G [0,1] X [0,1] X [0,1].

Như thế trong trường hợp này, ta có một hàm thuộc thuộc không gian ba chiều.

Tương tự như thế, nếu quay lại với Vật lý học, ta thấy rằng khái niệm "hạt" là không đơn thuần : "hạt" vừa có tính chất hạt, vừa có tính chất sóng. Hai tính chất này đều mờ, và chỉ khi nào tính chất hạt (vị trí) là hoàn toàn bất định, thì tính chất sóng mới xác định (có xung lượng xác định), và ngược lại. Mối tương quan mờ này được xác định bởi hệ thức bất định Heisenberg. Vũ trụ là một tích có dạng

Y = y (hạt) X Y (sóng ! = (v), y = {lĩ = hạt, s = sóng}.

Từ đó hàm thuộc sẽ được xác định trong một không gian hai chiều :

A(h,sỉ = {Aíh), A(S)} G [0,1] X [0,1].

Tương tự như thế, nếu quay về hiện tượng siêu dẫn, siêu chảy, thì ở đây ta cũng có một tình huống lưỡng tính. Dòng siêu dẫn, siêu chảy gồm hai thành phần,

một thành phần là bỉnh thường - mang tất cả entropi của hệ - và thành phần thứ hai là dòng siêu - trong đó entropi bằng không - Vũ trụ sẽ là

Y = Y (b = bỉnh thường) X Y ís—siêu)

Từ đó hàm thuộc có dạng :

Afb,s> — {A(b), Afs!] như trên.

Cần đặc biệt lưu ý rằng các tính chất hạt, sống, siêu dẫn, siêu chảy rất có thể quan hệ rất mật thiết với Đông Y học, do khái niệm Khí trong Đông Y học mang một tỉnh thực thể nào đó, có nhiều khả năng chứa trong bản thân nó những khía cạnh lưỡng tinh sóng - hạt, siêu dẫn - siêu dần nói trên.

Bây giờ chúng ta hãy hạn chế trong không gian hai chiểu để minh họa. Trong trường hợp này, mở rộng các định nghĩa của Zadeh, chúng ta có

Y = E X F, A = {M, N}, B = {p, Q}, M, P e E, N, Q e F, E {e}, F {f}.

(A u BVe, fi = [Max {M(ei, P(eí\ ' Max {N(f), Qrf)}], (A n BỴe, f) — [Min [M(ej, Pfei}. Min (Níf), Q(f)}], Afe, p = [1 - Mfe>, 1 - N(fj}.

Tất cả các tính chất của các phép toán đều đúng như trong trường hợp một chiều.

Trong trường hợp hàm thuộc với không gian nhiều chiều, tính chất không tương tác nói trên (nointeractive version) chỉ còn là một trường hợp đặc biệt. Tuy tại mỗi chiều, tính chất không tương tác vẫn đúng, nhưng nói chung trong các phép giao, hợp, thì mỗi tập con qua các phép giao, hợp vẫn có thể để lại một phần dấu vết của nó trong kết quả chung (Hình 47). Có một điểm tương đồng giữa lý thuyết tập hợp kinh điển và lý thuyết tập mờ theo Zadeh, khi xảy ra trường hợp nhiều chiều.

A u B 2Â,B

A nBcA,B

Hình 47

IV - PHÉP NHÂN MAX MIN VÀ PHÉP NHÂN MIN MAX

Trong quá trình vận dụng lý thuyết tập mờ, xuất hiện một số phép nhân đặc biệt gọi là phép nhân Max Min và phép nhân Min Max, định nghĩa như sau :

A - PHÉP NHÂN MAX MIN Phép nhân này tương tự như phép nhân ma trận thông thường, chỉ khác một chỗ là : Thay phép nhân thông thường bằng phép lấy Min, còn phép cộng thông thường bằng phép lấy Max. VÍ DỤ Ta chọn trường hợp ma trận 2 x 2 cho đơn giản. Chẳng hạn ta có trong phép nhân ma trận thông thường (° i) (* ") = (am + bp cn + ba) cn t da) Phép nhân Max, Min, ký hiệu là o, theo định nghĩa, sẽ có dạng :

Max Min (a, m), Min (b, P) : Max : Min (a, n), Min (b, 9) ;) P " = Max Min (c, 111), Min (d, p) ; Max Min (c, n), Min (d, p)|).

Ví dụ bằng số (i 8) (6) - ()

Cần lưu ý rằng phép nhân Max Min có tính chất kết hợp : A O (B o C) = (A o B) o C.

B - PHÉP NHÂN MIN MAX Phép nhân này, ký hiệu là o, suy từ phép nhân Max Min bằng cách thay thế Min và Max cho nhau. Ví dụ bằng số : (3'%) • (9 8) = (2 4) Phép nhân này cũng có tính chất kết hợp : A5 (BÒ C) = (4 Ò B) Ò C. Phép nhân Max Min và phép nhân min Max có nhiều ứng dụng sâu xa. Trong phần này chúng tôi xin dừng tại đây.

V - SỰ HỆ THỐNG HÓA CÁC KHOA HỌC VÀ CÁC HỆ THỐNG Bây giờ chúng ta hãy tìm mối quan hệ giữa lý thuyết tập mờ và các hệ thống. Theo John P.van Gigch, mối quan hệ đó có liên quan đến sự phân loại các hệ thống theo tính cứng, mềm và nửa cứng, nửa mếm (Bảng 2). LÝ THUYẾT TỔNG QUÁT CÁC HỆ THỐNG TOÁN - TRIẾT

LÝ THUYẾT LÝ THUYẾT LÝ THUYẾT CÁC CÁC HỆ CÁC HỆ CỨNG NỬA CỨNG HỆ MẼM NỬA MỀM

KHOA HỌC KHOA HỌC KHOA HỌC KHOA HỌC GIỚI VÔ SINH GIỚI HỮU SINH HÀNH VI XÃ HỘI

VẬT LÝ HỌC SINH HỌC NHÂN CHÚNG HỌC KHOA HỌC XỬ THẾ HÓA HỌC THỰC VẬT HỌC LUẬT HỌC Điều KHIỂN HỌC KHOA HỌC ĐỘNG VẬT HỌC TÂM LÝ HỌC KINH TẾ HỌC Quả ĐẤT....... XÃ HỘI HỌC SU PHẠM HỌC.

LÝ THUYẾT LÝ THUYẾT LÝ THUYẾT TẬP KINH TẬP KINH TẬP MỜ ĐIỀN ĐIỂN & MỜ

Bảng 2. BẢNG LÝ THUYẾT CÁC HỆ THỐNG. Như thế, tất cả các nội dung nghiên cứu sau đây, có liên quan đến sinh học, tâm lý học, xã hội học... đều có thể sử dụng lý thuyết tập mờ trong một mức độ nào đó, theo sơ đổ trên. Nhưng để được đơn giản, và để dễ xác định được khả năng bao quát của lý thuyết tập mờ trong việc mô hình hóa Triết cổ Đông phương và các học thuyết dẫn xuất của nó, chúng tôi trước hết chọn phương án Max Min của L.A. Zadeh.