Phụ lục và tra cứu

Phụ lục III

Thuật tạo hình vuông kì diệu

Trang 1117–1126 của bản in·Xem ảnh quét

1117TÍCH HỢP ĐA VĂN HÓA ĐÔNG TÂY

PHỤ LỤC III

THUẬT TẠO

HÌNH VUÔNG KỲ DIỆU

NGUYỄN MỘNG HÙNG

CỬ NHÂN TOÁN HỌC, KỸ SƯ CƠ KHÍ

cảm ơn thầy Nguyễn Hoàng Phương đã định hướng cho sự tìm tòi thuật tạo hình vuông kỳ diệu

1118PHỤ LỤC

(trang để trắng trong bản in)

1119TÍCH HỢP ĐA VĂN ĐA ĐÔNG TÂY

	Cho	m, m * 2 và m G {n} (n là số tự nhiên).
	Tạo một hình vuông có		m hàng, m cột, bao gồm các trị từ 1,
2,....	m..... m2 sao cho trị của tổng các phần tử trên mỗi hàng,

cột, đường chéo chính đều không đổi (const).

Gọi : ai, ì, i = 1, 2,.... m là phần tử của hình vuông, c là đường chéo chính ; tương ứng ta có C1 là đường chéo chính dương (tứ góc trái - trên xuống góc phải - dưới) và C2 là đường chéo chính âm (tử góc phải - trên xuống góc trái - dưới).

/ là bước của đường chéo, I = |a,7 - ai + u 1 1 ; tương ứng với

C1 là 11 với C2 là /2.

Th (hoặc Ti) là trị của tồng các phần từ trên mỗi hàng, hoặc cột, đường chéo.

Thuật tạo hình vuông kỳ diệu như sau :

1 - VỚI ™ LẺ

Xuất phát từ phần tử (I(lfi + 12 + i).(m +1/2), ở dưới phần tử tâm aụn + 1/2. III + í/2) điển liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 2,..., ni,..., ni, theo hướng C1, như điền các phần tử của định thức cấp ni. nhưng khi điển hết các ô trên một đường chéo thì nhảy cách hàng xuống dưới, qua đường chéo C2 để điển tiếp các số trên đường chéo phụ kế tiếp.

Chú ý

Có thể làm theo hướng ngược lại, xuất phát từ phần tử trên phần tử tâm, vẫn theo hướng của C1 nhưng theo chiều ngược lại và giảm dần từ số lớn nhất, ni, đến số nhỏ nhất, 1, và nhẩy cách hàng lên phía trên.

1120PHỤ LỤC

2 - VỚI M CHẴN

Phải điền các phần tử trên C[ và trên C2 trước : điền au = m. Điếu tiếp các phần tử trên Cị theo bước.

4 | = ni - 1. Điến a.[llt 1 1. Điền tiếp các phần tử trên C2 theo bước 13 = m + 1

- Điền các phần tử trên hàng ỉ = 1 và ỉ = m

Từ (ii.ni-[ điền số giáp số lớn nhất, 7712 — 1, sau đó giảm liên tiếp trên hàng i - 1 và i = ni, từ cột j = m — 1 đến j = 2 sao cho số aij có trị xấp xỉ nhau phân bố đều trên hai hàng.

Từ Om.m-ỵ điền số giáp số nhỏ nhất, 2, sau đó tăng liên tiếp trên hàng i = ni và ì = 1, từ cột j = ni — 1 đến j = 2 ở các ô còn lại.

Kiểm tra lại các ai ; và Om/ sao cho Th = (1 + m2)m/2 = const. Khi hai hàng có chênh lệch, chỉ cần đổi chỗ một số các O|/ cho amj (trên cùng một cột) để được Th = const.

- Điền các phần tử trên hàng z = 2 và i = m - 1

Điền aĩM = mm : — 1), sau đó giảm liên tiếp trên hàng i = 2 và i = ĨH — 1, từ cột j = m đến j = 1 sao cho số aij có trị xấp xỉ nhau phân bố đều trên hai hàng. (Chú ý : có thể điền từ am - i.m')Điểu 02.1 hoặc ữtn-ị.Hi =1/|.| + 1 = 1 + 1, sau đó tăng liên tiếp trên hàng i = 2 và i = ni — 1, từ cột j = 1 đến j -mồ các ô còn lại.

Kiểm tra lại các ay và 0 - 1 j sao cho Th = const. Khi hai hàng có chênh lệch, chỉ cần đổi cho một số 02 ; cho am-ỉ,ị (trên cùng một cột) để được Th = const.

- Điền các 0,7 còn lại :

Làm tiếp tục cho từng 2 hàng i = k và i — m - k + 1, như đối với ỉ = 2 và i = m - 1. Đầu (hoặc cuối) mỗi hàng, điển số liên tiếp của các hàng trước theo hướng tăng dần hoặc giảm dần,

- Kiểm tra các cột :

Sau khi diễn hết các hàng, phải kiểm tra các cột, từ j = 1 đến j = m sao cho Th = const. Khỉ các cột có chênh lệch, chỉ cần đổi cho một số các akj cho ữk.m-j+] (trên cùng một hàng và ở hai cột đối xứng).

Chú ý

Thông thường, khi điển các ai ô 2 hàng cuối cùng, có thể phải đổi chỗ nhiều lần giữa các phần tử đối xứng cột (cùng hàng), thậm chí cả đối xứng hàng (cùng cột), hoặc đối xứng tâm (cà hàng và cột) để được Ti, = const.

1121TÍCH HỢP ĐA VĂN ĐA ĐÔNG TÂY

HÌNH VUÔNG SAO THỔ

(m = 3, lẻ)

4   9      2
                           m                           =                           3                           /                          =                          1

m ? = 9 /2 = 3

MSsa    =        3           5             7
                                      7                                      =                                      2|3                                       +                                       |                                       =                                       8

Th = (1 +34)3/2 = 15 Ty = m. Th = 3.15 = 45 8 1 6 Tm = h.Th = 8.15 = 120 Tâm 1/2(3 ? + 1) = 5

HÌNH VUÔNG SAO HỎA

(m = 5, lẻ)

11   24      7        20            3
                           m                           =                           5

m' = 25

4   12      25         8          16
                           4=1

12= 5

MSMa     =        17           5             13                21                  9
                                      h                                      =                                      2(5                                       +                                       1)                                       =                                       12

Th = (1 + 53512 = 65 10 18 1 14 22 Ty = 5 × 65 = 325

Tm = 12 × 65 = 780 Tâm = 1/2(5 ? + 1) = 13 23 6 19 2 15

HÌNH VUÔNG SAO MỘC

(m = 4, chẵn)

• 4   14     15        1
                             m                             =                             4

9    7      6        12

12=4 +9= 5

MSJA =		h = 2(4 + 1 = 10
	5 11 10 8	Ty = (1 + 444/2 = 34

Ty = 4 × 34 = 136 Tm = 10 × 34 = 340 16 2 3 13

1122PHỤ LỤC

6	32	3	34	35	1
7	11	(27)	(2B)	8	30
(24) (20)		16			19
(13) 18	(14) 20	22	21	(23)\| 17	(18) 18
25	29	(10)9	(9)10	26	12
36	5	33	4	2	31
			(m = 7, lẻ)

21	39	8	33	2	27	45
46	15	40	9	.34	3	28

Ảnh quét trang 1122 — Bảng trên trang này chưa dựng lại được chính xác theo cột, nên hiển thị nguyên ảnh quét để số liệu đọc đúng.

1123TÍCH HỢP ĐA VĂN ĐA ĐÔNG TÂY

67	27	59	10	51	2	43	75	35
36	68	19	60	11	52	3	44	76
77	28	69	20	61	12	53	4	45

			HÌNH	VUÔNG(m = 8,		SAOchẵn)	THỦY
8	(58) 59	(59) 58
9	15	54
(48) 42	(47) 47	22	21	20	19	(42)	(41)

(32)39	25	(30)31	37	36	(27)\|(40)35 30		(33)27
(24)23	(23)24	46	(45)44	(44)45	43	18	17
49	55	1f	12	13	14	50	56
64	7	6	60	61	3	2	57

Ảnh quét trang 1123 — Bảng trên trang này chưa dựng lại được chính xác theo cột, nên hiển thị nguyên ảnh quét để số liệu đọc đúng.

1124PHỤ LỤC

10	92	8	94	95	5	3 98		99	1
81	19	88	13	15	86	84	17	12	90
71	72	28	74	75	26	27	23	79	30
40	69	68	37	36	35	34	63	62	61
60	52	42	43	46	45	54	53	59	51
41	44	48	57	56	55	47	58	49	50
70	39	38	67	66	65	64	33	32	31
21	22	78	24	25	76	77	73	29	80
11	89	14	87	85	16	18	83	82	20
100	7	93	9	6	96	97	4	2	91

Ảnh quét trang 1124 — Bảng trên trang này chưa dựng lại được chính xác theo cột, nên hiển thị nguyên ảnh quét để số liệu đọc đúng.

1125TÍCH HỢP ĐA VĂN ĐA ĐÔNG TÂY

MS2 = 31 81 21 71 11 61 111 51 101 41 91 HÌNH VUÔNG MS2

(m = 11, lé)

65	117	46	107	36	97 26 87			16	• 77	6
7	57	118	47	108	37	98	27	88	17	67
68	8	58	119	48	109	38	99	28	78	18
19	69	9	59	120	49	110	39	89	29	79
80	20	70	10	60	121	50	100	40	90	30

92	32	82	22	72	1	62	112	52	102	42
43	93	33	83	12	73	2	:63	113	53	103
104	44	94	23	84	13	74	3	64	114	54
55	105	34	95	24	85	14	75	4	65	115
116	45	106	35	96	25	86	15	76	5	66

Tâm = 1/2(11° + 1) = 61

1126PHỤ LỤC

HÌNH VUÔNG MS,(m = 12, chẵn)
12	134	135	4	8	139	138	5	9	142	143	1
13	23	123	124	125	126	19	20	129	130	14	24
25	110	34	112	13	114	31	32	33	27	119	120
97	98	99	45	41	42	103	104	40	46	47	108
96	95	94	93	56	91	90	53	52	51	50	49
84	83	82	81	80	67	66	65	64	63	62	73
72	71	70	69	68	79	78	77	76	75	74	61
60	59	58	57	92	55	54	89	88	87	86	85
37	38	39	105	101	102	43	44	100	106	107	48
109	26	118	28	29	30	115	116	117	111	35	36
121	131	15	16	17	18	127	128	21	22	122	132
144	2	3	136	140	7	6	137	141	10	11	133

Tụ =	1	+	12^)12/2		= 870
Ty =	12	X	870	=	10440
Tạ =	26	X	870	=	22620

Ảnh quét trang 1126 — Bảng trên trang này chưa dựng lại được chính xác theo cột, nên hiển thị nguyên ảnh quét để số liệu đọc đúng.

10	92	8	94	95	5	3 98		99	1
81	19	88	13	15	86	84	17	12	90
71	72	28	74	75	26	27	23	79	30
40	69	68	37	36	35	34	63	62	61
60	52	42	43	46	45	54	53	59	51
41	44	48	57	56	55	47	58	49	50
70	39	38	67	66	65	64	33	32	31
21	22	78	24	25	76	77	73	29	80
11	89	14	87	85	16	18	83	82	20
100	7	93	9	6	96	97	4	2	91

65	117	46	107	36	97 26 87			16	• 77	6
7	57	118	47	108	37	98	27	88	17	67
68	8	58	119	48	109	38	99	28	78	18
19	69	9	59	120	49	110	39	89	29	79
80	20	70	10	60	121	50	100	40	90	30

92	32	82	22	72	1	62	112	52	102	42
43	93	33	83	12	73	2	:63	113	53	103
104	44	94	23	84	13	74	3	64	114	54
55	105	34	95	24	85	14	75	4	65	115
116	45	106	35	96	25	86	15	76	5	66

HÌNH VUÔNG MS,(m = 12, chẵn)
12	134	135	4	8	139	138	5	9	142	143	1
13	23	123	124	125	126	19	20	129	130	14	24
25	110	34	112	13	114	31	32	33	27	119	120
97	98	99	45	41	42	103	104	40	46	47	108
96	95	94	93	56	91	90	53	52	51	50	49
84	83	82	81	80	67	66	65	64	63	62	73
72	71	70	69	68	79	78	77	76	75	74	61
60	59	58	57	92	55	54	89	88	87	86	85
37	38	39	105	101	102	43	44	100	106	107	48
109	26	118	28	29	30	115	116	117	111	35	36
121	131	15	16	17	18	127	128	21	22	122	132
144	2	3	136	140	7	6	137	141	10	11	133

10	92	8	94	95	5	3 98		99	1
81	19	88	13	15	86	84	17	12	90
71	72	28	74	75	26	27	23	79	30
40	69	68	37	36	35	34	63	62	61
60	52	42	43	46	45	54	53	59	51
41	44	48	57	56	55	47	58	49	50
70	39	38	67	66	65	64	33	32	31
21	22	78	24	25	76	77	73	29	80
11	89	14	87	85	16	18	83	82	20
100	7	93	9	6	96	97	4	2	91

65	117	46	107	36	97 26 87			16	• 77	6
7	57	118	47	108	37	98	27	88	17	67
68	8	58	119	48	109	38	99	28	78	18
19	69	9	59	120	49	110	39	89	29	79
80	20	70	10	60	121	50	100	40	90	30

92	32	82	22	72	1	62	112	52	102	42
43	93	33	83	12	73	2	:63	113	53	103
104	44	94	23	84	13	74	3	64	114	54
55	105	34	95	24	85	14	75	4	65	115
116	45	106	35	96	25	86	15	76	5	66

HÌNH VUÔNG MS,(m = 12, chẵn)
12	134	135	4	8	139	138	5	9	142	143	1
13	23	123	124	125	126	19	20	129	130	14	24
25	110	34	112	13	114	31	32	33	27	119	120
97	98	99	45	41	42	103	104	40	46	47	108
96	95	94	93	56	91	90	53	52	51	50	49
84	83	82	81	80	67	66	65	64	63	62	73
72	71	70	69	68	79	78	77	76	75	74	61
60	59	58	57	92	55	54	89	88	87	86	85
37	38	39	105	101	102	43	44	100	106	107	48
109	26	118	28	29	30	115	116	117	111	35	36
121	131	15	16	17	18	127	128	21	22	122	132
144	2	3	136	140	7	6	137	141	10	11	133

10	92	8	94	95	5	3 98		99	1
81	19	88	13	15	86	84	17	12	90
71	72	28	74	75	26	27	23	79	30
40	69	68	37	36	35	34	63	62	61
60	52	42	43	46	45	54	53	59	51
41	44	48	57	56	55	47	58	49	50
70	39	38	67	66	65	64	33	32	31
21	22	78	24	25	76	77	73	29	80
11	89	14	87	85	16	18	83	82	20
100	7	93	9	6	96	97	4	2	91

65	117	46	107	36	97 26 87			16	• 77	6
7	57	118	47	108	37	98	27	88	17	67
68	8	58	119	48	109	38	99	28	78	18
19	69	9	59	120	49	110	39	89	29	79
80	20	70	10	60	121	50	100	40	90	30

92	32	82	22	72	1	62	112	52	102	42
43	93	33	83	12	73	2	:63	113	53	103
104	44	94	23	84	13	74	3	64	114	54
55	105	34	95	24	85	14	75	4	65	115
116	45	106	35	96	25	86	15	76	5	66

HÌNH VUÔNG MS,(m = 12, chẵn)
12	134	135	4	8	139	138	5	9	142	143	1
13	23	123	124	125	126	19	20	129	130	14	24
25	110	34	112	13	114	31	32	33	27	119	120
97	98	99	45	41	42	103	104	40	46	47	108
96	95	94	93	56	91	90	53	52	51	50	49
84	83	82	81	80	67	66	65	64	63	62	73
72	71	70	69	68	79	78	77	76	75	74	61
60	59	58	57	92	55	54	89	88	87	86	85
37	38	39	105	101	102	43	44	100	106	107	48
109	26	118	28	29	30	115	116	117	111	35	36
121	131	15	16	17	18	127	128	21	22	122	132
144	2	3	136	140	7	6	137	141	10	11	133