Phụ lục và tra cứu
Phụ lục I.4
Quan hệ thứ tự mờ
Phụ lục I.4
QUAN HỆ THỨ TỰ MỜ
Quan hệ tối quan trọng thứ hai là quan hệ thứ tự mờ.
I - QUAN HỆ TIỀN THỨ TỰ MỜ
ĐỊNH NGHĨA
Một quan hệ R, xác định trên E X E, có các tính chất phản xạ và bắc cầu Max Min
- R(x, X) = 1, với mọi X e E,
-RoRQR,
gọi là một quan hệ tiền thứ tự mờ.
Với quan hệ tiền thứ tự mờ, có thể chứng tỏ rằng tính phản xạ dẫn đến một hình thái đặc biệt sau của quan hệ bắc cầu Max Min :
R2 = R 0 R = R.
từ đó, ta được
Rk = R, và cái đóng bắc cầu Max Min sẽ là
R = R u {R 0 R) u (R o R o R) u = R. Ví dụ
| R | a | b | c | ở | e |
| â | 1 | 0.7 | 0,8 | 0,5 | 0,5 |
| b | 0 | 1 | 0,3 | 0 | 0,2 |
| c | 0 | 0,7 | 1 | 0 | 0,2 í |
| ơ | 0,6 | 1 | 0,9 | 1 | 0,6 |
| e | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Tính phản xạ là rõ ràng. Bằng cách tính trực tiếp, ta thấy quan hệ này cũng có tính chất bắc cầu Max Min : R o R = R.
Như thế R là một quan hệ tiền thứ tự.
Quan hệ
R(x, y) = expí-k(x-y)2}, k > 1, có tính phản xạ, nhưng lại không có tính bắc cầu Max Min. Vì thế quan hệ này không phải là một quan hệ tiền thứ tự.
| R | a | b |
| a | 1,2 | 1 |
| b | 0 | 0,6 |
| c | 0 | 1 |
Quan hệ này có tính bắc cầu Max Min, nhưng lại không có tính phản xạ. Một quan hệ như thế gọi là nửa - tiền thứ tự.
U - CÁC QUAN HỆ TƯƠNG DƯƠNG MỜ CON TRONG MỘT QUAN HỆ TIỀN THỨ TỰ
Ta hãy xét một trường hợp cụ thể như sau : Cho quan hệ R
| flĩ | a | b | c | d |
|---|---|---|---|---|
| a | 1 | 0,2 | 0,2 | 0,2 |
| b | 0,2 | 1 | 0,5 | 0,2 |
| c | 0,2 | 0,5 | 1 | 0,2 |
| d | 0,2 | 0.2 | 0,2 | 1 |
| e | 0,2 | 0,2 | 0,2 | 0,8 |
| f | 0,2 | 0,2 | 0,2 | 0,2 |
| g | 0,2 | 0,2 | 0,2 | 0,2 |
và quan hệ u
| Ư| | A | B |
| A | 1 | 0,2 |
| B | 0,2 | 1 |
| c | 0,5 | 0,2 |
| D | 0,2 | 0,2 |
0,4
0,3
0,3
| e | f | g |
|---|---|---|
| 0,2 | 0,3 | 0,4 |
| 0,2 | 0,3 | 0,4 |
| 0,2 | 0,3 | 0,5 |
| 0,8 | 0,3 | 0,5 |
| 1 | 0,3 | 0,5 |
| 0,2 | 1 | 0,4 |
| 0,2 | 0,2 | 1 |
| c | D |
| 0.2 | 0.5 : |
| 0.2 | 0,2 |
| 1 | 0,5 |
| 0,2 | 1 |
| c | 1 | 0 2 |
|---|---|---|
| D | 0 2 | 1 |
| Vĩ A | B | C |
- Quan hệ R phân thành nhiều quan hệ tương đương không giao nhau,.
- Trái lại. quan hệ ư phân thành nhiều quan hệ có giao nhau.
Ngoài ra, các quan hệ con của R là cực đại, nghĩa là không có một quan hệ tương đương con nào của R bao các quan hệ con đó.
ĐỊNH NGHĨA
Một quan hệ tiền thứ tự mờ gọi là khả quy nếu có thể phân thành nhiều quan hệ tương đương mờ không giao nhau. Trong trường hợp trái lại, quan hệ đó gọi là bất khả quy.
Trong việc phân một quan hệ tiền thứ tự mờ khả quy thành nhiều quan hệ con tương đương, cần tìm những quan hệ tương đương cực đại.
Qua quá trình này, quan hệ tiền thứ tự mờ ban đầu sẽ hiện ra như thế nào ? Ta hãy minh họa quá trình này qua ví dụ với quan hệ mờ R.
- Các quan hệ con tương đương L, M, N được thay bằng ba đỉnh của đồ thị.
- Quan hệ con p được thay bằng chỉ một phần tử có giá trị lớn nhất, đó là phần tử 0,5.
- Quan hệ con ộ cũng như thế, đó là phần tử 0,3..
- Các quan hệ con s, T, J, K - cũng như thế - được thay bằng phần tử 0,2, 0,2, 0,4 và 0,2.
Cuối cùng, kết quả của quá trình biểu diễn quan hệ R theo các thành phần khả quy L, M, N, p, Q, s, T, J, K với cách thay thế trên - gọi là theo "con đường mạnh nhất" - là :
III - QUAN HỆ THỨ TỰ MỜ KHÔNG NGẶT, NGẶT VÀ HOÀN CHỈNH
Chúng ta có các loại quan hệ thứ tự mờ khác nhau như sau :
| ĐỊNH NGHĨA | ||
|---|---|---|
| QUAN HỆ THỨ TỰ MỜKHÔNG NGẶT | QUAN HỆ THỨ TỰ MỜNGẶT | QUAN HỆ THỨ TỰ MỜHOÀN CHỈNH |
| Phản đối xứng3(x, y) R(x, y) * R(y, x)hay R(x, y) = R(y, x) = 0 | Phản đối xứng3(x, y) R(X, y) * R(y, x)hay R(x, y) = R(y, x) = 0 | Phản xứng hoàn toànR(x, y) > 0 => R(y, x) = 0 |
| Bắc cầu Max MinR 0 R c R | Bắc cầu Max MinR 0 R c R | Bắc cầu Max MinR 0 R c R |
| Phản xạ Phản phản xạR(x, X) = 1 R(x, x) = 0 | Phản xạR(x, x) = 1 | |
| Ví dụA B c DH f st | ab c ứ | |
| A | 1 | 0,8 | 0 | 0 |
| B | 0,2 | 1 | 0 | 0 |
| c | 0,7 | 0,8 | 1 | 0,9 |
| D | 0 | 0 | 0.2 | 1 |
exp(-1) exp(-2) 0 1
| 1 | 0 | 1 |
| 2 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 0 |
4
| Ư T a b c d e | a 1 0 0 0 0 |
| a | 0 | 0,9 | 0,7 | 0,7 |
| b | 0 | 0 | 0.6 | 0.9 |
| c | 0 | 0 | 0 | 0.6 |
| d | 0 | 0 | 0 | 0 |
3 4 2 exp(-3) exp(-4)
| exp(-3) 1 0 | exp(-4) exp(-5) 1 | exp(-5) exp(-6) exp(-7) |
11«
| b | c | d | e |
| 0,4 | 0,2 | 0,7 | 0,9 |
| 1 | 0,4 | 0.3 | 0,2 í |
| 0 | 1 | 0,1 | 0,6 |
| 0 | 0 | 1 | 0.7 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
R : quan hệ thứ tự mờ không ngặt, s : quan hệ thứ tự mờ ngặt T, u : quan hệ thứ tự mờ hoàn chỉnh.
IV - QUAN HỆ THỨ TỰ MỜ TOÀN PHẦN
Tính chất thứ tự toàn phần của một quan hệ mờ được xác định bởi tính thứ tự toàn phần của các quan hệ thông thường theo mức tương ứng với quan hệ mờ đã cho. Nói cách khác ta có sự tương quan sau, theo định nghĩa
Quan hệ thông thường theo mức có tính thứ tự toàn phần =>
Quan hệ thông thường theo mức không có tính thứ tự toàn phần =>
Ví dụ
Với hai ví dụ fl và s trên, ta thu được tương ứng sau :
D B A c
| A | 1 | 1 | 0 | 0 |
| B | 0 | 1 | 0 | 0 |
| c | 1 | 1 | 1 | 1 |
| D | 0 | 0 | 0 | 1 |
Thứ tự từng phần
CíD, CíAíB
Như thế, theo định nghĩa, quan hệ R không có tính thứ tự toàn phần, còn quan hệ s có tính chất đó.
Quan hệ mờ tương ứng có tính thứ tự toàn phần
Quan hệ mờ tương ứng
không có tính thứ tự toàn phần
hai quan hệ thông thường gần nhất
b d a c
| a | 0 ' | 1 | 1 | 1 |
| b | 0 | 0 | 1 | 1 |
| c | 0 | 0 | 0 | 1 |
| d | 0 | 0 | 0 | 0 |
Thứ tự toàn phần
a c b í c í d
V - QUAN HỆ THỨ TỰ TỪ QUAN HỆ TIỀN THỨ TỰ
Một vấn đề đặc biệt quan trọng nằm trong mối tương quan giữa quan hệ tiến thứ tự và quan hệ thứ tự là :
Các lớp tương đương của một quan hệ tiền thứ tự sẽ tạo ra một quan hệ thứ tự nếu chọn các con đường mạnh nhất. Chúng ta lấy minh họa sau :
D B
M D 0,7 1
| H | 0 | 0 | |
| A | 0 | 0 | |
| N c | 0 | 0 | |
| p E | 0 | 0 | |
| F | 0 | 0 |
| Q | G | 0 | 0 |
| T | 1 | 0 | 0 |
Các lớp tương đương trong quan hệ K là
Và nếu chúng ta chọn con đường mạnh nhất, thì chúng ta sẽ được quan hệ rút gọn sau
M
| M | 1 |
| N | 0 |
| p | 0 |
| Q | 0 |
| T | 0 |
Như thế, từ một quan hệ tiền thứ tự K, chúng ta thu được một ; quan hệ thứ tự mờ J.
Tiếp theo, muốn xem quan hệ thứ tự mờ này có toàn phần hay không, chúng ta xét quan hệ thống thường J theo mức cao nhất tương ứng của nó. Quan hệ J
N p Q T
| H | A | c | E | F | G | / |
| 0,7 | 0,7 | 0,4 | 0,7 | 0,7 | 0,7 | 0,1 |
| 0,8 | 08 | 09 | 0 4 | 0.7 | 0,8 | 01 |
| 1 | 0.8 | 0,6 | 0,3 | 0 | 0 | 0 |
| 0,8 | 1 | 0,6 | 0 3 | 0 | 0 | 0 |
| 0.6 | 1 | 06 | 0,3 | 0 | 0 | 0 |
| 0,2 | 0,2 | 0,2 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0.3 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0,3 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
M, N, p, Q, T.
| N | p | Q | T |
| 0,9 | 0,7 | 0,8 | 0,1 |
| 1 | 0,3 | 0 | 0 |
| 0,2 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
này là một quan hệ thứ tự không toàn phần. Vậy theo định nghĩa, quan hệ J là một quan hệ thứ tự mờ không toàn phần (xem đổ thị sau)
ĐỒ thị của quan hệ Đồ thị của quan hệ J theo mức cao nhất thứ tự mờ J thu được từ
M í N í p, M í Qf M í T, quan hệ tiền thứ tự K xác định mức độ về thứ tự toàn phần
của quan hệ thứ tự mờ J.