Thuật tạo hình vuông kì diệu

PHỤ LỤC III

THUẬT TẠO HÌNH VUÔNG KỲ DIỆU

NGUYỄN MỘNG HÙNG

CỬ NHÂN TOÁN HỌC, KỸ sư cơ KHÍ

cảm ơn thầy Nguyễn Hoàng Phương đã định hướng cho sự tìm tòi thuật tạo hình vuông kỳ diệu

(trang để trắng trong bản in)

m, m * 2 và m G {n} (n là số tự nhiên). Cho m hàng, m cột, bao gồm các trị từ 1, Tạo một hình vuông có m..... m2 sao cho trị của tổng các phần tử trên mỗi hàng, 2,....

cột, đường chéo chính đều không đổi (const).

ai, ì, i = 1, 2,.... m là phần tử của hình vuông, c là đường Gọi :

chéo chính ; tương ứng ta có C1 là đường chéo chính dương (tứ góc trái - trên xuống góc phải - dưới) và C2 là đường chéo chính âm (tử góc phải - trên xuống góc trái - dưới).

I = |a,7 - ai + u + i| ; tương ứng với / là bước của đường chéo, C1 là /1, với C2 là /2.

Th (hoặc Ti) là trị của tồng các phần từ trên mỗi hàng, hoặc cột, đường chéo.

Thuật tạo hình vuông kỳ diệu như sau :

1 - VỚI ™ LẺ

Xuất phát từ phần tử (I(lfi + ỉ/2 + i).(m +1/2), ở dưới phần tử tâm aụn + 1/2. III + í/2) điển liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 2,..., ni,..., ni, theo hướng C1, như điền các phần tử của định thức cấp ni. nhưng khi điển hết các ô trên một đường chéo thì nhảy cách hàng xuống dưới, qua đường chéo C2 để điển tiếp các số trên đường chéo phụ kế tiếp.

Chú ý Có thể làm theo hướng ngược lại, xuất phát từ phần tử trên phần tử tâm, vẫn theo hướng của C1 nhưng theo chiều ngược lại và giảm dần từ số lớn nhất, ni, đến số nhỏ nhất, 1, và nhẩy cách hàng lên phía trên.

2 - VỚI m CHẴN

Phải điền các phần tử trên C[ và trên C2 trước : điển au = m. Điếu tiếp các phần tử trên Cị theo bước.

/ | = ni - 1. Điến a.[llt = 1. Điển tiếp các phần tử trên C2 theo bước

/1 = m + 1 - Điền các phần tử trên hàng ỉ = 1 và ỉ = m

Từ (ii.ni-[ điển số giáp số lớn nhất, 7712 — 1, sau đó giảm liên tiếp trên hàng i - 1 và i = ni, từ cột j = m — 1 đến j = 2 sao cho số aij có trị xấp xi nhau phân bố đều trên hải hàng.

Từ Om.m-ỵ điển số giáp số nhỏ nhất, 2, sau đó tăng liên tiếp trên hàng i = ni và ì = 1, từ cột j = ni — 1 đến j = 2 ở các ô còn lại.

Kiểm tra lại các ai ; và Om/ sao cho Th = (1 + m2)m/2 = const. Khi hai hàng có chênh lệch, chỉ cần đổi cho một số các O|/ cho amj (trên cùng một cột) để được Th = const.

- Điền các phần tử trên hàng z = 2 và i = m - 1

Điền aĩM = mm : — 1), sau đó giảm liên tiếp trên hàng i = 2 và i = ĨH — 1, từ cột j = m đến j = 1 sao cho số aij có trị xấp xỉ nhau phân bố đều trên hai hàng. (Chú ý : có thể điền từ am - i.m')Điểu 02.1 hoặc ữtn-ị.Hi =1/|.| + 1 = »1 + 1, sau đó tăng liên tiếp trên hàng i = 2 và i = ni — 1, từ cột j = 1 đến j -mồ các ô còn lại.

Kiểm tra lại các ay và ữin - 1 j sao cho Th = const. Khi hai hàng có chênh lệch, chỉ cần đổi cho một số 02 ; cho am-ỉ,ị (trên cùng một cột) để được Th = const.

- Đỉền các 0,7 còn lại :

Làm tiếp tục cho từng 2 hàng i = k và i — m - k + 1, như đối với ỉ = 2 và i = m - 1. Đầu (hoặc cuối) mỗi hàng, điển số liên tiếp của các hàng trước theo hướng tăng dần hoặc giảm dần, - Kiểm tra các cột :

Sau khi diễn hết các hàng, phải kiểm tra các cột, từ j = 1 đến j = m sao cho Th = const. Khỉ các cột có chênh lệch, chỉ cần đổi cho một số các akj cho ữk.m-j+] (trên cùng một hàng và ở hai cột đối xứng).

Chú ý Thông thường, khi điển các ai ô 2 hàng cuối cùng, có thể phải đổi chỗ nhiều lần giữa các phần tử đối xứng cột (cùng hàng), thậm chí cả đối xứng hàng (cùng cột), hoặc đối xứng tâm (cà hàng và cột) để được Ti, = const.

HÌNH VUÔNG SAO THỔ (m = 3, lẻ)

4 9 2 m = 3 / = 1 m ? = 9 /2 = 3 7 = 2|3 + | = 8 MSsa = 3 5 7 Th = (1 +34)3/2 = 15 Ty = m. Th = 3.15 = 45 8 1 Tm = h.Th = 8.15 = 120 Tâm 1/2(3 ? + 1) = 5

HÌNH VUÔNG SAO HỎA (m = 5, lẻ)

11 24 7 20 3 m = 5 m' = 25 4 12 25 8 16 4=1 12= 5 MSMa = 17 5 13 21 9 h = 2(5 + 1) = 12 Th = (1 + 53512 = 65 10 18 1 14 22 Ty = 5 × 65 = 325 Tm = 12 × 65 = 780 Tâm = 1/2(5 ? + 1) = 13 23 6 19 2 15

HÌNH VUÔNG SAO MỘC (m = 4, chẵn)

• 4 14 15 1 m = 4 m ? = 16 1=4- 1 = 3 9 7 6 12 12=4 +9= 5 MSJA = h = 2(4 + 1 = 10 5 11 10 8 Ty = (1 + 444/2 = 34 Ty = 4 × 34 = 136 Tm = 10 × 34 = 340 16 2 3 13 i

10 92 8 94 95 5

81 19 88 13 15 86

71 72 28 74 75 26

37 40 69 68 36 35

52 42 45 60 43 46

41 44 57 48 56 55

67 70 39 38 66 65

21 22 78 24 25 76

11 14 87 89 85 16

100 7 96 93 9 6 nỉ = 10 m2 = 100

1 3 98 99 5

84 17 12 86 90

27 79 23 30 26

34 63 62 61 35

45 54 53 59 51

47 49 58 50 55

64 33 32 31 65

77 29 76 73 80

83 82 20 16 18

4 2 96 97 91

12 134 135 4 8

13 23 124 123 125

25 110 34 112 113

97 98 99 45 41

96 95 94 93 56

84 83 82 81 80 MS, o =

72 71 69 70 68

60 59 58 57 92

37 38 39 105 101

109 26 118 28 29

121 131 15 16 17

144 2 3 136 140

ni = 12 m2 = 144

8 139 138 9 5 142 143 1

125 126 19 20 129 130 24 14

113 114 31 32 33 27 119 120

41 42 103 104 40 46 47 108

56 90 53 52 91 51 50 49

80 67 66 64 65 63 62 73

68 79 78 77 76 75 74 61

92 55 54 89 88 87 86 85

101 102 43 44 100 106 48 107

29 115 117 30 116 111 35 36

17 127 18 128 21 22 132 122

140 7 6 137 141 10 11 133